Subconjunto

Diagrama de Euler ilustrando o fato de que ${\displaystyle A}$ é subconjunto de ${\displaystyle B}$ ou, equivalentemente, que ${\displaystyle B}$ é superconjunto de ${\displaystyle A}$

Em teoria dos conjuntos, quando todo elemento de um conjunto ${\displaystyle A}$ é também elemento de um conjunto ${\displaystyle B}$, dizemos que ${\displaystyle A}$ é um subconjunto de ${\displaystyle B}$, denotado ${\displaystyle A\subseteq B}$ (também dito "${\displaystyle A}$ é uma parte de ${\displaystyle B}$" ou "${\displaystyle A}$ está contido em ${\displaystyle B}$"). De forma complementar, ${\displaystyle B}$ é chamado um superconjunto de ${\displaystyle A}$, simbolizado como ${\displaystyle B\supseteq A}$ (também dito "${\displaystyle B}$ contém ${\displaystyle A}$" ou "${\displaystyle B}$ tem ${\displaystyle A}$ como parte").^[1] Esta relação é conhecida por inclusão de conjuntos. Em linguagem simbólica, utilizando a noção de quantificação universal (∀), temos: $${\displaystyle A\subseteq B{\stackrel {\mathbf {def} }{=\!=}}\forall x(x\in A\rightarrow x\in B).}$$

Propriedades

• A inclusão de conjuntos é uma relação reflexiva, ou seja, ${\displaystyle A\subseteq A}$ qualquer que seja o conjunto ${\displaystyle A.}$

  Realmente, a condicional ${\displaystyle p\rightarrow p}$ é uma tautologia. Assim, ${\displaystyle x\in A\rightarrow x\in A}$ tanto se ${\displaystyle x\in A}$ como também se ${\displaystyle x\not \in A.}$ E, por definição, ${\displaystyle \forall x(x\in A\rightarrow x\in A)\Rightarrow A\subseteq A.}$

• A inclusão de conjuntos é uma relação transitiva, ou seja, se ${\displaystyle A\subseteq B}$ e ${\displaystyle B\subseteq C,}$ então ${\displaystyle A\subseteq C.}$

  Se ${\displaystyle A=\varnothing ,}$ ${\displaystyle A\subseteq C}$ (e assumir que ${\displaystyle B\subseteq C}$ é irrelevante). Então, assuma que ${\displaystyle A\neq \varnothing }$ e seja ${\displaystyle x\in A.}$ Por hipótese, ${\displaystyle A\subseteq B}$ e, pela definição de inclusão, ${\displaystyle x\in B.}$ Assim, ${\displaystyle B\neq \varnothing .}$ Também por hipótese ${\displaystyle B\subseteq C,}$ isto é, se ${\displaystyle y\in B}$ também ${\displaystyle y\in C.}$ Em particular, para ${\displaystyle y=x}$ temos ${\displaystyle x\in C.}$ Como ${\displaystyle x\in A}$ era arbitrário, todo elemento de ${\displaystyle A}$ é também elemento de ${\displaystyle C,}$ ou seja, ${\displaystyle A\subseteq C.}$

• A inclusão de conjuntos é uma relação antissimétrica, ou seja, se ${\displaystyle A\subseteq B}$ e ${\displaystyle B\subseteq A,}$ então ${\displaystyle A=B.}$

  De fato, isto é o que diz o axioma da extensão.

• Pelas três propriedades acima, dado um conjunto não-vazio ${\displaystyle A}$ e uma coleção ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ de subconjuntos de ${\displaystyle A,}$ a relação de inclusão ${\displaystyle \subseteq }$ é uma relação de ordem parcial em ${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$

  A inclusão de conjuntos é a relação de ordem parcial canônica — no sentido de que todo conjunto parcialmente ordenado (X, ${\displaystyle \preceq }$) é isomorfo a alguma coleção de conjuntos ordenada pela inclusão. Os números ordinais constituem um exemplo simples — se cada ordinal ${\displaystyle n}$ é identificado com o conjunto ${\displaystyle [n]}$ de todos os ordinais menores ou igual a ${\displaystyle n,}$ então ${\displaystyle a\leq b}$ se e somente se ${\displaystyle [a]\subseteq [b].}$

Subconjunto próprio

Dizemos que um conjunto ${\displaystyle B}$ é um subconjunto próprio de um conjunto ${\displaystyle A}$ se ${\displaystyle B\subseteq A}$ (${\displaystyle B}$ é subconjunto de ${\displaystyle A}$) e ${\displaystyle B\neq A}$ (${\displaystyle B}$ é diferente de ${\displaystyle A}$). Explicitamos este fato com a notação especial ${\displaystyle B\subsetneq A;}$ ou ainda ${\displaystyle A\supsetneq B}$ (lê-se: A é um superconjunto próprio de B). Isto quer dizer que ${\displaystyle B}$ está estritamente contido em ${\displaystyle A,}$ ou seja, existe pelo menos um ${\displaystyle x\in A}$ tal que ${\displaystyle x\not \in B.}$ Em particular, o conjunto vazio é um subconjunto próprio de todo conjunto não-vazio. E, evidentemente, ${\displaystyle A}$ é o único subconjunto de um conjunto ${\displaystyle A\neq \varnothing }$ que não é próprio. Assim, dizemos que ${\displaystyle A}$ é um subconjunto impróprio (superconjunto impróprio) de ${\displaystyle A.}$

Exemplos

• O conjunto vazio é um subconjunto de qualquer conjunto dado.
• O conjunto {1, 2} é um subconjunto próprio de {1, 2, 3}.
• O conjunto {x : x é um número primo maior do que 10} é um subconjunto próprio de {x : x é um número ímpar maior do que 10}.
• O conjunto dos números naturais é um subconjunto próprio do conjunto dos números inteiros, com a mesma cardinalidade.
• O conjunto dos números naturais é um subconjunto próprio do conjunto dos números reais, com cardinalidade inferior.

Ver também

• Conjunto potência
• Função inclusão

Notas

1. Uma notação alternativa para ${\displaystyle A}$ é subconjunto de ${\displaystyle B}$, tão comum quanto ${\displaystyle A\subseteq B,}$ é ${\displaystyle A\subset B.}$ Similarmente, usa-se também ${\displaystyle B\supset A}$ para denotar que ${\displaystyle B}$ é superconjunto de ${\displaystyle A}$.

Referências

• Jech, Thomas (2002). Set Theory. [S.l.]: Springer-Verlag. ISBN 3-540-44085-2 

Ligações externas

• "Subset", "Superset", "Proper Subset" e "Improper Subset" in MathWorld (em inglês)
• "Subset" in ProofWiki (em inglês)

• Portal da matemática