Sistema de numeração quaternário

Quaternário é um sistema de numeração posicional em que todas as quantidades (todos os possíveis números naturais) se representam com base em quatro números, ou seja, zero, um, dois e três (0, 1, 2 e 3).^[1]

Conversões

Conversão Decimal-Quaternário

Para realizar a conversão de decimal para quaternário, pode ser utilizado o método das divisões sucessivas por 4. Por exemplo, o número 45:

• dividindo-o por 4, o quociente é 11 e o resto é 1;
• dividindo 11 por 4, temos resto 3 e quociente 2;
• 2 é menor que 4, então as divisões param por aí;
• partindo do quociente da última divisão e seguindo pelos restos das divisões (da última à primeira), obtemos o resultado: ${\displaystyle 45_{10}=231_{4}}$

Conversão Quaternário-Decimal

Uma forma de realizar a conversão de quaternário para decimal é utilizando o método proveniente do TFN. Esse método consiste em pegar o k-ésimo algarismo do número quaternário (sejam n algarismos, e definiremos a ordem do primeiro ao n-ésimo a começar do algarismo das unidades, ou seja, da direita para a esquerda) e multiplicar por ${\displaystyle 4^{k-1}}$, e depois somar todos os resultados. Por exemplo, ${\displaystyle \mathbf {313} _{4}=\mathbf {3} \times 4^{2}+\mathbf {1} \times 4^{1}+\mathbf {3} \times 4^{0}=3\times 16+1\times 4+3\times 1=48+4+3=55_{10}}$.

Em relação a outros sistemas de numeração posicional

Números 1-64 no padrão quaternário

Decimal	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Quaternário	1	2	3	10	11	12	13	20	21	22	23	30	31	32	33	100
Octal	1	2	3	4	5	6	7	10	11	12	13	14	15	16	17	20
Binário	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111	10000
Decimal	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32
Quaternário	101	102	103	110	111	112	113	120	121	122	123	130	131	132	133	200
Octal	21	22	23	24	25	26	27	30	31	32	33	34	35	36	37	40
Binário	10001	10010	10011	10100	10101	10110	10111	11000	11001	11010	11011	11100	11101	11110	11111	100000
Decimal	33	34	35	36	37	38	39	40	41	42	43	44	45	46	47	48
Quaternário	201	202	203	210	211	212	213	220	221	222	223	230	231	232	233	300
Octal	41	42	43	44	45	46	47	50	51	52	53	54	55	56	57	60
Binário	100001	100010	100011	100100	100101	100110	100111	101000	101001	101010	101011	101100	101101	101110	101111	110000
Decimal	49	50	51	52	53	54	55	56	57	58	59	60	61	62	63	64
Quaternário	301	302	303	310	311	312	313	320	321	322	323	330	331	332	333	1000
Octal	61	62	63	64	65	66	67	70	71	72	73	74	75	76	77	100
Binário	110001	110010	110011	110100	110101	110110	110111	111000	111001	111010	111011	111100	111101	111110	111111	1000000

Relação com o sistema binário

Assim como os sistemas octal e hexadecimal, o sistema quaternário tem uma relação especial com o sistema binário. Cada base 4, 8 e 16 é uma potência de 2, assim a conversão para o binário e do binário é efetuada combinando cada dígito com 2, 3 ou 4 dígitos binários, ou bits. Por exemplo, na base 4,

30210₄ = 11 00 10 01 00₂.

Embora o octal e o hexadecimal sejam largamente usados em computação e programação de computadores na discussão e na análise de aritmética binária e lógica, o quaternário não possui a mesma importância.

Pela analogia com byte e nybble, um dígito quaternário às vezes é denominado crumb.^{[carece de fontes?]}

Frações

Devido a terem apenas fatores iguais a 2, muitas frações em quaternário possuem dígitos repetidos, embora estas tendam a ser relativamente simples:

Base decimal Fatores primos da base: 2, 5 Menor fator primo de um número inferior à base: 3 Menor fator primo de um número superior à base: 11 Outros fatores primos: 7 13			Base quaternária Fatores primos da base: 2 Menor fator primo de um número inferior à base: 3 Menor fator primo de um número superior à base: 11 Outros fatores primos: 13 23 31
Fração	Fatores primos do denominador	Representação posicional	Representação posicional	Fatores primos do denominador	Fração
1/2	2	0.5	0.2	2	1/2
1/3	3	0.3333... = 0.3	0.1111... = 0.1	3	1/3
1/4	2	0.25	0.1	2	1/10
1/5	5	0.2	0.03	11	1/11
1/6	2, 3	0.16	0.02	2, 3	1/12
1/7	7	0.142857	0.021	13	1/13
1/8	2	0.125	0.02	2	1/20
1/9	3	0.1	0.013	3	1/21
1/10	2, 5	0.1	0.012	2, 11	1/22
1/11	11	0.09	0.01131	23	1/23
1/12	2, 3	0.083	0.01	2, 3	1/30
1/13	13	0.076923	0.010323	31	1/31
1/14	2, 7	0.0714285	0.0102	2, 13	1/32
1/15	3, 5	0.06	0.01	3, 11	1/33
1/16	2	0.0625	0.01	2	1/100

Presença da lógica quaternária nas linguagens humanas

Muitas ou todas dentre as línguas chumashianas usavam originalmente um sistema de contagem em base 4, no qual os nomes para números foram estruturados de acordo com os múltiplos de 4 e 16 (e não de 10). Existe uma lista remanescente de mais de 32 palavras de números no idioma ventureño, escrita por um padre espanhol em aproximadamente 1819.^[2]

Os números na escrita caroste possuem um sistema de contagem parcialmente na base 4, de 1 ao decimal 10.

A Curva de Hilbert

Números quaternários são usados na representação das curvas de Hilbert em 2D. Um número real entre 0 e 1 é convertido através do sistema quaternário. Feita a conversão, cada dígito não-repetido indica em qual dos respectivos 4 sub-quadrantes o número será projetado.^{[carece de fontes?]}

Transmissão de dados

Códigos de linha quaternários já foram utilizados para transmissão de dados, da invenção do telégrafo ao código 2B1Q utilizado em circuitos RDIS (ISDN em inglês).

Referências

1. http://www.matematicamuitofacil.com/naodecimais.html
2. "Chumashan Numerals" por Madison S. Beeler, em Native American Mathematics, editada por Michael P. Closs (1986), ISBN 0-292-75531-7.