Gravidade quântica canônica

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Mecânica quântica
${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\Psi \rangle ={\hat {H}}|\Psi \rangle }$ Equação de Schrödinger
Introdução Glossário História
Contexto Mecânica clássica Teoria quântica antiga Notação bra e ket Hamiltoniano Interferência
Fundamentos Complementaridade Decoerência Emaranhamento Estado Função de onda Colapso Incerteza Medição Não localidade Nível de energia Número quântico Simetria Sobreposição Tunelamento
Experimentos Apagador quântico Escolha adiada Davisson e Germer Desigualdade de Bell Desigualdade de CHSH Desigualdade de Leggett Desigualdade de Leggett e Garg Dupla fenda Escolha adiada de Wheeler Elitzur e Vaidman Franck e Hertz Gato de Schrödinger Mach e Zehnder Popper Stern e Gerlach
Formulações Visão geral Espaço de fase Heisenberg Interação Matriz Schrödinger Soma sobre históricos (integral de caminho)
Equações Dirac Klein e Gordon Pauli Rydberg Schrödinger
Interpretações Bayesiana Colapso objetivo Conjunta Copenhagen de Broglie e Bohm Histórias consistentes Lógica quântica Muitos mundos Relacional Transacional Variáveis ocultas Locais Superdeterminismo Von Neumann e Wigner
Tópicos avançados Aprendizado de máquina quântico Caos quântico Ciência da informação quântica Computação quântica Matriz de densidade Mecânica estatística quântica Mecânica quântica relativística Paradoxo de EPR Teoria da dispersão Teoria de campos quântica
Cientistas Aharonov Bell Bethe Blackett Bloch Bohm Bohr Born Bose de Broglie Compton Dirac Davisson Debye Ehrenfest Einstein Everett Fock Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordan Kramers Lamb Landau Laue Moseley Millikan Onnes Pauli Planck Rabi Raman Rydberg Schrödinger Simmons Sommerfeld von Neumann Weyl Wien Wigner Zeeman Zeilinger
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Em física, a gravidade quântica canônica, gravidade canônica ou relatividade quântica canônica é uma tentativa de quantizar a formulacão canônica da relatividade geral. É uma formulação hamiltoniana da Teoria Geral da Relatividade de Einstein.

A teoria básica foi descrita por Bryce DeWitt em um articulo formal em 1967^[1], baseando-se em um trabalho prévio de Peter G. Bergmann,^[2] usando as chamadas técnicas de quantização canônica para sistemas hamiltonianos limitados inventadas por P. A. M. Dirac.^[3] O enfoque de Dirac permite a quantização de sistemas que incluem simetrias de gauge usando técnicas hamiltonianas em uma eleição de gauge fixa. Novos enfoques, baseados em parte no trabalho de DeWitt e Dirac, incluem o estado de Hartle-Hawking, o cálculo de Regge, a equação de Wheeler-DeWitt e a gravidade quântica em loop.

A quantização se baseia na decomposição do tensor métrico tal como segue,

${\displaystyle g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=(-\,N^{2}+\beta _{k}\beta ^{k})dt^{2}+2\beta _{k}dx^{k}+\gamma _{ij}dx^{i}dx^{j}}$

onde a soma dos índices repetidos é implícita, o índice 0 indica tempo ${\displaystyle \tau =x^{0}}$, os índices gregos tomam todos los valores 0,...,3 e os índices latinos tomam os valores especiais 1,...3. A função ${\displaystyle N}$ se chama a função lapso e as funções ${\displaystyle \beta _{k}}$ se chamam funções shift. Os índices espaciais aumentam e decrescem usando a métrica espacial ${\displaystyle \gamma _{ij}}$ e sua inversa ${\displaystyle \gamma ^{ij}}$: ${\displaystyle \gamma _{ij}\gamma ^{jk}=\delta _{i}{}^{k}}$ e ${\displaystyle \beta ^{i}=\gamma ^{ij}\beta _{j}}$, ${\displaystyle \gamma =\det \gamma _{ij}}$, onde ${\displaystyle \delta }$ é o delta de Kronecker. Com esta decomposição, a lagrangiana de Einstein-Hilbert se converte em derivadas totais,

${\displaystyle L=\int d^{3}x\,N\gamma ^{1/2}(K_{ij}K^{ij}-K^{2}+{}^{(3)}R)}$

onde ${\displaystyle {}^{(3)}R}$ é a curvatura escalar espacial calculada com respeito à métrica de Riemann ${\displaystyle \gamma _{ij}}$ e ${\displaystyle K_{ij}}$ é a curvatura extrínseca,

${\displaystyle K_{ij}={\frac {1}{2}}N^{-1}\left(\nabla _{j}\beta _{i}+\nabla _{i}\beta _{j}-{\frac {\partial \gamma _{ij}}{\partial \tau }}\right),}$

onde ${\displaystyle \nabla _{i}}$ dá uma diferenciação covariante com respeito à métrica ${\displaystyle \gamma _{ij}}$. DeWitt descreve que a lagrangiana "tem a forma clássica de 'energia cinética menos energia potencial', com a curvatura extrínseca desempenhando o papel da energia cinética e o oposto da curvatura intrínseca, o da energia potencial." Ainda que esta forma da lagrangiana é manifestamente invariante se redefinem-se a coordenadas espaciais, fazendo opaca a covariância geral.

Como as funções lapso e shift podem ser eliminadas por uma transformação de gauge, não representam graus físicos de liberdade. Isto se indica movendo-nos ao formalismo hamiltoniano pelo fato de seus momentos conjugados, respectivamente, ${\displaystyle \pi }$ e ${\displaystyle \pi ^{i}}$, desaparecem de forma idêntica (on shell e off shell). Isto é o que Dirac chama limitações primárias. Uma eleição popular de gauge chamada gauge síncrono, é ${\displaystyle N=1}$ e ${\displaystyle \beta _{i}=0}$, ainda que, em princípio, pode ser eleita qualquer função das coordenadas. Neste caso, o hamiltoniano toma a forma

${\displaystyle H=\int d^{3}x{\mathcal {H}},}$

onde

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {1}{2}}\gamma ^{-1/2}(\gamma _{ik}\gamma _{jk}+\gamma _{il}\gamma _{jk}-\gamma _{ij}\gamma _{kl})\pi ^{ij}\pi ^{kl}-\gamma ^{1/2}{}^{(3)}R}$

e ${\displaystyle \pi ^{ij}}$ é o momento de conjugar a ${\displaystyle \gamma _{ij}}$. As equações de Einstein podem ser recuperadas tomando colchetes de Poisson com o hamiltoniano. Limitações on-shell adicionais, chamadas limitações secundárias por Dirac, surgem da consistência da álgebra de Poisson. São ${\displaystyle {\mathcal {H}}=0}$ e ${\displaystyle \nabla _{j}\pi ^{ij}=0}$. Esta é a teoria que está sendo quantizada em aproximações à gravidade quântica canônica.

Referências

1. B. S. DeWitt (1967). "Quantum theory of gravity. I. The canonical theory". Phys. Rev. 160: 1113–48. doi:10.1103/PhysRev.160.1113
2. ver, p.ex. P. G. Bergmann; Hamilton-Jacobi and Schrödinger Theory in Theories with First-Class Hamiltonian Constraints; Helv. Phys. Acta Suppl. 4, 79 (1956) e referências.
3. P. A. M. Dirac (1950). "Generalized Hamiltonian dynamics". Can. J. Math. 2: 129–48. P. A. M. Dirac (1964). Lectures on quantum mechanics. New York: Yeshiva University.

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