Notação bra-ket

Mecânica quântica

${\displaystyle {\Delta x}\,{\Delta p}\geq {\frac {\hbar }{2}}}$

Princípio da Incerteza

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Notação bra-ket é uma notação padrão para descrever estados quânticos na teoria da mecânica quântica. Ela também é utilizada para denotar vetores e funcional linear abstratos na matemática pura. É assim chamada por ser o produto interno de dois estados denotados por um bracket, ${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle ,}$ consistindo de uma parte esquerda, ${\displaystyle \langle \phi |,}$ denominada bra, e uma parte direita, ${\displaystyle |\psi \rangle ,}$ denominada ket. A notação foi criada por Paul Dirac, e por isso é também conhecida como notação de Dirac.^[1][2][3]

Bras e kets

Uso mais comum: mecânica quântica

As componentes reais do vetor 3D e a projeção da base; semelhanças entre cálculo notação vetorial e notação de Dirac.

Em mecânica quântica, o estado físico de um sistema é identificado como um raio unitário em um espaço de Hilbert separável complexo, ${\displaystyle {\mathcal {H}},}$ ou, equivalentemente, por um ponto no espaço de Hilbert projetado de um sistema. Cada vetor no raio é chamado um "ket" e escrito como ${\displaystyle |\psi \rangle ,}$ que deve ser lido como "psi ket".^[4]

O ket pode ser visualizado como um vetor coluna e (dada uma base para o espaço de Hilbert) escrito por extenso em componentes,

${\displaystyle |\psi \rangle =(c_{0},c_{1},c_{2},...)^{T},}$

quando o espaço de Hilbert considerado possuir finitas dimensões. Em espaços de dimensão infinita, há infinitas componentes e o ket deve ser escrito em notação de função, precedido por um bra (veja abaixo). Por exemplo,

${\displaystyle \langle x|\psi \rangle =\psi (x)=ce^{-ikx}.}$

Todo ket ${\displaystyle |\psi \rangle }$ possui um bra dual, escrito como ${\displaystyle \langle \psi |.}$ Por exemplo, o bra correspondente ao ${\displaystyle |\psi \rangle }$ acima deve ser um vetor linha, isto é,

${\displaystyle \langle \psi |=(c_{0}^{*},c_{1}^{*},c_{2}^{*},...).}$

Isto é um funcional linear contínuo de ${\displaystyle H}$ para os números complexos ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ definido por:

$${\displaystyle \langle \psi |:H\to \mathbb {C} :\langle \psi |\left(|\rho \rangle \right)=\operatorname {IP} \left(|\psi \rangle \;,\;|\rho \rangle \right)}$$ para todo ket ${\displaystyle |\rho \rangle }$

onde ${\displaystyle \operatorname {IP} (\cdot ,\cdot )}$ denota o produto interno definido sobre o espaço de Hilbert. Aqui, uma vantagem da notação bra-ket torna-se clara: quando removemos os parênteses (como é comum em funcionais lineares) e fundimos junto com as barra, obtemos ${\displaystyle \langle \psi |\rho \rangle ,}$ que é a notação comum para produto interno no espaço de Hilbert. Esta combinação de um bra com um ket para formar um número complexo é chamada bra-ket ou bracket.

Em mecânica quântica a expressão ${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle }$ (matematicamente o coeficiente para a projeção de ${\displaystyle \psi }$ em ${\displaystyle \phi }$) é tipicamente interpretada como a amplitude de probabilidade para o estado ${\displaystyle \psi }$ para o colapso no estado ${\displaystyle \phi .}$ ^[5][6][7][8]

Ver também

• Espaço dual
• Estado quântico
• Espaço vetorial
• Produto interno
• Teorema da representação de Riesz

Referências

1. PAM Dirac (1939). "A new notation for quantum mechanics". Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 35 (3): 416–418. doi:10.1017/S0305004100021162. ISSN 0305-0041 (em inglês)
2. Siqueira-Batista, Rodrigo; Vicari, Mathias Viana; Helayël-Neto, José Abdalla (27 de maio de 2022). «David Bohm e a Mecânica Quântica: o Todo e o Indiviso». Revista Brasileira de Ensino de Física. ISSN 1806-1117. doi:10.1590/1806-9126-RBEF-2022-0102. Consultado em 29 de setembro de 2022 
3. Cajori, Florian (1929). A History Of Mathematical Notations Volume II. Open Court Publishing. p. 134. ISBN 978-0-486-67766-8. (em inglês)
4. Quantum Mechanics Demystified, D. McMahon, Mc Graw Hill (USA), 2006, ISBN 0-071-45546-9 (em inglês)
5. Carfì, David (abril de 2003). «Dirac-orthogonality in the space of tempered distributions». Journal of Computational and Applied Mathematics. 153 (1–2): 99–107. Bibcode:2003JCoAM.153...99C. doi:10.1016/S0377-0427(02)00634-9 
6. Carfì, David (abril de 2003). «Some properties of a new product in the space of tempered distributions». Journal of Computational and Applied Mathematics. 153 (1–2): 109–118. Bibcode:2003JCoAM.153..109C. doi:10.1016/S0377-0427(02)00635-0 
7. Carfì, David (2007). «TOPOLOGICAL CHARACTERIZATIONS OF S-LINEARITY». AAPP-PHYSICAL, MATHEMATICAL AND NATURAL SCIENCES. 85 (2): 1–16. doi:10.1478/C1A0702005 
8. Carfì, David (2005). «S-DIAGONALIZABLE OPERATORS IN QUANTUM MECHANICS». Glasnik Matematicki. 40 (2): 261–301. doi:10.3336/gm.40.2.08 

Bibliografia

1. J. J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics (Revised Edition) , Addison Wesley; 1993 ISBN 0-201-53929-2 (em inglês)

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