Derivada total

Em matemática, a derivada total de uma função ${\textstyle f}$é a melhor aproximação linear do valor da função em relação aos seus argumentos. Ao contrário das derivadas parciais, a derivada total aproxima a função em relação a todos os seus argumentos, e não apenas a um. Em muitas situações, isso é o mesmo que considerar todas as derivadas parciais simultaneamente. O termo "derivado total" é usado principalmente quando ${\displaystyle f}$ é uma função de várias variáveis, porque quando ${\displaystyle f}$ é uma função de uma única variável, a derivada total é a mesma que a derivada da função.^{[1] :198–203}

A "derivada total" é algumas vezes também usada como sinônimo da derivada de material na mecânica de fluidos .

A derivada total como um mapa linear

Seja ${\displaystyle U\subseteq \mathbf {R^{n}} }$um subconjunto aberto . Então uma função ${\displaystyle f:U\rightarrow \mathbf {R} ^{m}}$é dito ser (totalmente) diferenciável em um ponto ${\displaystyle a\in U}$se existe uma transformação linear ${\displaystyle df_{a}:\mathbf {R} ^{n}\rightarrow \mathbf {R} ^{m}}$tal que$${\displaystyle \lim _{x\rightarrow a}{\frac {\|f(x)-f(a)-df_{a}(x-a)\|}{\|x-a\|}}=0.}$$O mapeamento linear ${\displaystyle df_{a}}$é chamado de diferencial (total) ou derivada (total) de ${\displaystyle f}$ em ${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$. Outras notações para a derivada total incluem ${\displaystyle D_{a}{f}}$ e ${\displaystyle Df{\big (}a{\big )}}$. Uma função é (totalmente) diferenciável se sua derivada total existir em todos os pontos de seu domínio.

Conceitualmente, a definição da derivada total expressa a ideia de que ${\displaystyle df_{a}}$é a melhor aproximação linear para ${\displaystyle f}$no ponto ${\displaystyle a}$. Isso pode ser feito com precisão quantificando o erro na aproximação linear determinada por ${\displaystyle df_{a}}$. Para fazer isso, escreva${\displaystyle f(a+h)=f(a)+df_{a}(h)+\varepsilon (h),}$

onde ${\displaystyle \varepsilon {\big (}h{\big )}}$é igual ao erro na aproximação. Dizer que a derivada de ${\displaystyle f}$em ${\displaystyle a}$ é ${\displaystyle df_{a}}$é equivalente à enunciar que

${\displaystyle \varepsilon {\big (}h{\big )}=o{\big (}\lVert h\rVert {\big )},}$

onde ${\displaystyle o}$ é notação do pequeno o e indica que ${\displaystyle \varepsilon {\big (}h{\big )}}$ é muito menor do que ${\displaystyle \lVert h\rVert }$quando ${\displaystyle h\rightarrow 0}$. A derivada total ${\displaystyle df_{a}}$é a única transformação linear para a qual o termo de erro é tão pequeno, e este é o sentido em que é a melhor aproximação linear para ${\displaystyle f}$.

A função ${\displaystyle f}$ é diferenciável se e somente se cada um de seus componentes ${\displaystyle f_{i}:U\rightarrow \mathbf {R} }$é diferenciável, por isso, quando se estudam derivadas totais, muitas vezes é possível trabalhar uma coordenada de cada vez no co-domínio. No entanto, o mesmo não é verdade das coordenadas no domínio. É verdade que se ${\displaystyle f}$ é diferenciável em ${\displaystyle a}$, então cada derivada parcial ${\displaystyle \partial f/\partial x_{i}}$existe em ${\displaystyle a}$. O inverso é falso: pode acontecer que todas as derivadas parciais de ${\displaystyle f}$em ${\displaystyle a}$ existam, mas ${\displaystyle f}$ não seja diferenciável em ${\displaystyle a}$. Isso significa que a função é muito ''grosseira" em ${\displaystyle a}$, a tal extremo que seu comportamento não pode ser adequadamente descrito por seu comportamento nas direções das coordenadas. Quando ${\displaystyle f}$ não é tão grosseira, isso não pode acontecer. Mais precisamente, se todas as derivadas parciais de ${\displaystyle f}$ em ${\displaystyle a}$ existem e são contínuos em uma vizinhança de ${\displaystyle a}$, então ${\displaystyle f}$é diferenciável em ${\displaystyle a}$. Quando isso acontece, então, além disso, a derivada total de ${\displaystyle f}$ é a transformação linear correspondente à matriz jacobiana de derivadas parciais naquele ponto.^[2]

Referências

1. Chiang, Alpha C. Fundamental Methods of Mathematical Economics. [S.l.: s.n.] ISBN 0-07-010813-7 
2. Abraham, Ralph; Marsden, J. E.; Ratiu, Tudor. Manifolds, Tensor Analysis, and Applications. [S.l.: s.n.] 

• A. D. Polyanin e V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall / CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2 ISBN   1-58488-297-2
• From thesaurus.maths.org derivado total do

Ligações externas

• Weisstein, Eric W. «Total Derivative». MathWorld (em inglês) 
• http://www.sv.rkriz.net/classes/ESM4714/methods/df2D.html