Geometria aritmética

A curva hiperelíptica definida por tem apenas finitamente muitos pontos racionais (como os pontos e ) pelo teorema de Faltings.

Em matemática, a geometria aritmética é simplificadamente a aplicação de técnicas da geometria algébrica a problemas na teoria dos números.[1] A geometria aritmética é centrada em torno da geometria diofantina, o estudo dos pontos racionais das variedades algébricas.[2][3]

Em termos mais abstratos, a geometria aritmética pode ser definida como o estudo de esquemas de tipo finito sobre o espectro do anel de inteiros.[4]

Visão geral

Os objetos clássicos de interesse em geometria aritmética são pontos racionais: conjuntos de soluções de um sistema de equações polinomiais sobre campos numéricos, campos finitos, campos p-ádicos ou campos de função, ou seja, campos que não são algebricamente fechados excluindo os números reais. Os pontos racionais podem ser diretamente caracterizados por funções de altura que medem sua complexidade aritmética.[5]

A estrutura de variedades algébricas definidas sobre campos não fechados algébricamente tornou-se uma área central de interesse que surgiu com o desenvolvimento abstrato moderno da geometria algébrica. Sobre campos finitos, coomologia etal fornece invariantes topológicos associados a variedades algébricas.[6] A teoria de Hodge p-ádica fornece ferramentas para examinar quando as propriedades cohomológicas de variedades sobre os números complexos se estendem para os campos p-ádicos.[7]

História

Século XIX: início de geometria aritmética

No início do século 19, Carl Friedrich Gauss observou que soluções inteiras diferentes de zero para equações polinomiais homogêneas com coeficientes racionais existem se soluções racionais diferentes de zero existirem.[8]

Na década de 1850 Leopold Kronecker formulou o teorema de Kronecker-Weber, introduziu a teoria dos divisores e fez várias outras conexões entre a teoria dos números e a álgebra. Ele então conjeturou seu "Jugendtraum de Kronecker" ("sonho mais querido da juventude"), uma generalização que mais tarde foi apresentada por Hilbert de uma forma modificada como seu décimo segundo problema, que descreve o objetivo de fazer a teoria dos números operar apenas com anéis que são quocientes de anéis polinomiais sobre os inteiros.[9]

Início a meados do século 20: desenvolvimentos algébricas e conjecturas de Weil

No final da década de 1920 André Weil demonstrou profundas conexões entre geometria algébrica e teoria dos números com seu trabalho de doutorado levando ao teorema de Mordell-Weil, que demonstra que o conjunto de pontos racionais de uma variedade abeliana é um grupo abeliano finitamente gerado.[10]

Os fundamentos modernos da geometria algébrica foram desenvolvidos com base na álgebra comutativa contemporânea, incluindo a teoria da valoração e a teoria dos ideais de Oscar Zariski e outros nas décadas de 1930 e 1940.[11]

Em 1949 André Weil apresentou as conjecturas de Weil sobre as funções zeta locais de variedades algébricas sobre campos finitos.[12] Essas conjecturas ofereceram uma estrutura entre a geometria algébrica e a teoria dos números que impulsionou Alexander Grothendieck a reformular os fundamentos fazendo uso da teoria dos feixes (junto com Jean-Pierre Serre) e, posteriormente, da teoria do esquema, nas décadas de 1950 e 1960.[13] Bernard Dwork provou uma das quatro conjecturas de Weil (racionalidade da função zeta local) em 1960.[14] Grothendieck desenvolveu a teoria da coomologia etal para provar duas das conjecturas de Weil (junto com Michael Artin e Jean-Louis Verdier) em 1965.[6][15] A última das conjecturas de Weil (um análogo da hipótese de Riemann) foi finalmente provada em 1974 por Pierre Deligne.[16]

Metade ao fim do século 20: desenvolvimentos na modularidade, métodos p-ádicos, e além

Entre 1956 e 1957 Yutaka Taniyama e Goro Shimura formularam o teorema de Shimura-Taniyama-Weil (agora conhecido como o teorema de modularidade) relativo a curvas elípticas para formas modulares.[17][18] Esta ligação acabaria por levar à primeira prova do último teorema de Fermat na teoria dos números através de técnicas de geometria algébrica de levantamento de modularidade desenvolvidas por Andrew Wiles em 1995.[19]

Na década de 1960 Goro Shimura introduziu variedades de Shimura como generalizações de curvas modulares.[20] Desde 1979 as variedades de Shimura têm desempenhado um papel crucial no Programa Langlands como um reino natural de exemplos para testar conjecturas.[21]

Em artigos de 1977 e 1978, Barry Mazur provou a conjectura de torção dando uma lista completa dos possíveis subgrupos de torção de curvas elípticas sobre os números racionais. A primeira prova de Mazur desse teorema dependeu de uma análise completa dos pontos racionais de certas curvas modulares.[22][23] Em 1996 a prova da conjectura de torção foi estendida a todos os campos de números por Loïc Merel.[24]

Em 1983 Gerd Faltings provou a conjectura de Mordell, demonstrando que uma curva de gênero maior que 1 tem apenas pontos racionais finitos (onde o teorema de Mordell-Weil apenas demonstra a geração finita do conjunto de pontos racionais em oposição à finitude).[25][26]

Em 2001 a prova das conjecturas locais de Langlands para GLn foi baseada na geometria de certas variedades de Shimura.[27]

Na década de 2010 Peter Scholze desenvolveu espaços perfectóides e novas teorias de cohomologia em geometria aritmética sobre campos p-ádicos com aplicação a representações de Galois e certos casos da conjectura de monodromia de peso.[28][29]

Ver também

Referências

  1. ↑ Sutherland, Andrew V. (5 de setembro de 2013). «Introduction to Arithmetic Geometry» (PDF). Consultado em 1 de janeiro de 2022 
  2. ↑ Klarreich, Erica (28 de junho de 2016). «Peter Scholze and the Future of Arithmetic Geometry». Consultado em 1 de janeiro de 2022 
  3. ↑ Poonen, Bjorn (2009). «Introduction to Arithmetic Geometry» (PDF). Consultado em 1 de janeiro de 2022 
  4. ↑ Arithmetic geometry in nLab
  5. ↑ Lang, Serge (1997). Survey of Diophantine Geometry. [S.l.]: Springer-Verlag. pp. 43–67. ISBN 3-540-61223-8. Zbl 0869.11051 
  6. ↑ a b Grothendieck, Alexander (1960). «The cohomology theory of abstract algebraic varieties». Proc. Internat. Congress Math. (Edinburgh, 1958). [S.l.]: Cambridge University Press. pp. 103–118. MR 0130879 
  7. ↑ Serre, Jean-Pierre (1967). «Résumé des cours, 1965–66». Paris. Annuaire du Collège de France: 49–58 
  8. ↑ Mordell, Louis J. (1969). Diophantine Equations. [S.l.]: Academic Press. p. 1. ISBN 978-0125062503 
  9. ↑ Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (2008). The Princeton companion to mathematics. [S.l.]: Princeton University Press. pp. 773–774. ISBN 978-0-691-11880-2 
  10. ↑ A. Weil, L'arithmétique sur les courbes algébriques, Acta Math 52, (1929) p. 281-315, reprinted in vol 1 of his collected papers ISBN 0-387-90330-5.
  11. ↑ Zariski, Oscar (2004) [1935]. Abhyankar, Shreeram S.; Lipman, Joseph; Mumford, David, eds. Algebraic surfaces. Col: Classics in mathematics second supplemented ed. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-58658-6. MR 0469915 
  12. ↑ Weil, André (1949). «Numbers of solutions of equations in finite fields». Bulletin of the American Mathematical Society. 55 (5): 497–508. ISSN 0002-9904. MR 0029393. doi:10.1090/S0002-9904-1949-09219-4  Reprinted in Oeuvres Scientifiques/Collected Papers by André Weil ISBN 0-387-90330-5
  13. ↑ Serre, Jean-Pierre (1955). «Faisceaux Algebriques Coherents». The Annals of Mathematics. 61 (2): 197–278. JSTOR 1969915. doi:10.2307/1969915 
  14. ↑ Dwork, Bernard (1960). «On the rationality of the zeta function of an algebraic variety». American Journal of Mathematics, Vol. 82, No. 3. American Journal of Mathematics. 82 (3): 631–648. ISSN 0002-9327. JSTOR 2372974. MR 0140494. doi:10.2307/2372974 
  15. ↑ Grothendieck, Alexander (1995) [1965]. «Formule de Lefschetz et rationalité des fonctions L». Séminaire Bourbaki. 9. Paris: Société Mathématique de France. pp. 41–55. MR 1608788 
  16. ↑ Deligne, Pierre (1974). «La conjecture de Weil. I». Publications Mathématiques de l'IHÉS. 43 (1): 273–307. ISSN 1618-1913. MR 0340258. doi:10.1007/BF02684373 
  17. ↑ Taniyama, Yutaka (1956). «Problem 12». Sugaku (em japonês). 7: 269 
  18. ↑ Shimura, Goro (1989). «Yutaka Taniyama and his time. Very personal recollections». The Bulletin of the London Mathematical Society. 21 (2): 186–196. ISSN 0024-6093. MR 976064. doi:10.1112/blms/21.2.186 
  19. ↑ Wiles, Andrew (1995). «Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem» (PDF). Annals of Mathematics. 141 (3): 443–551. CiteSeerX 10.1.1.169.9076Acessível livremente. JSTOR 2118559. OCLC 37032255. doi:10.2307/2118559 
  20. ↑ Shimura, Goro (2003). The Collected Works of Goro Shimura. [S.l.]: Springer Nature. ISBN 978-0387954158 
  21. ↑ Langlands, Robert (1979). «Automorphic Representations, Shimura Varieties, and Motives. Ein Märchen» (PDF). In: Borel, Armand; Casselman, William. Automorphic Forms, Representations, and L-Functions: Symposium in Pure Mathematics. XXXIII Part 1. [S.l.]: Chelsea Publishing Company. pp. 205–246 
  22. ↑ Mazur, Barry (1977). «Modular curves and the Eisenstein ideal». Publications Mathématiques de l'IHÉS. 47 (1): 33–186. MR 0488287. doi:10.1007/BF02684339 
  23. ↑ Mazur, Barry (1978). with appendix by Dorian Goldfeld. «Rational isogenies of prime degree». Inventiones Mathematicae. 44 (2): 129–162. Bibcode:1978InMat..44..129M. MR 0482230. doi:10.1007/BF01390348 
  24. ↑ Merel, Loïc (1996). «Bornes pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres» [Bounds for the torsion of elliptic curves over number fields]. Inventiones Mathematicae (em francês). 124 (1): 437–449. Bibcode:1996InMat.124..437M. MR 1369424. doi:10.1007/s002220050059 
  25. ↑ Faltings, Gerd (1983). «Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern» [Finiteness theorems for abelian varieties over number fields]. Inventiones Mathematicae (em alemão). 73 (3): 349–366. Bibcode:1983InMat..73..349F. MR 0718935. doi:10.1007/BF01388432 
  26. ↑ Faltings, Gerd (1984). «Erratum: Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern». Inventiones Mathematicae (em alemão). 75 (2). 381 páginas. MR 0732554. doi:10.1007/BF01388572 
  27. ↑ Harris, Michael; Taylor, Richard (2001). The geometry and cohomology of some simple Shimura varieties. Col: Annals of Mathematics Studies. 151. [S.l.]: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-09090-0. MR 1876802 
  28. ↑ «Fields Medals 2018». União Internacional de Matemática. Consultado em 1 de janeiro de 2022 
  29. ↑ Scholze, Peter. «Perfectoid spaces: A survey» (PDF). University of Bonn. Consultado em 4 de novembro de 2018 

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