Os Problemas de Hilbert são uma lista de 23 problemas em matemática propostos pelo matemático alemãoDavid Hilbert na conferência do Congresso Internacional de Matemáticos de Paris em 1900. Nenhum dos problemas havia tido solução até então, e vários deles acabaram se tornando muito influentes na matemática do século XX. Nessa conferência, ele publicou 10 dos problemas (1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21, e 22). O resto da lista foi publicado mais tarde.
Natureza e influência dos problemas
Animação para o Terceiro problema de Hilbert, resolvido por Max Dehn, que provou que, se dois poliedros têm o mesmo volume, é possível decompor um deles em outros poliedros menores e reconstruir estes poliedros formando o outro.
Os problemas de Hilbert foram bastante amplos e precisos. Alguns deles foram claros o suficiente em busca de uma resposta sim ou não, como, por exemplo, o terceiro problema (provavelmente o mais simples de ser entendido por não especialistas, além de ter sido o primeiro a ser resolvido) ou o oitavo problema (A hipótese de Riemann). Existem outros problemas (como o quinto) com os quais especialistas concordam numa única interpretação e uma solução para tal interpretação foi dada, mas alguns permanecem não resolvidos; talvez estes estejam intimamente relacionados com o que Hilbert pretendia. Às vezes as declarações de Hilbert não eram precisas o suficiente para especificar um problema em particular, mas eram sugestivas o suficiente de forma que certos problemas de natureza mais contemporânea pareciam ter uma aplicação. Por exemplo, estudiosos de Teoria Moderna dos Números provavelmente poderiam ver o nono problema como uma referência à correspondência conjectural de Langlands sobre a representação de grupos de Galois de um corpo de números. Como também, por exemplo, o décimo primeiro e o décimo sexto problemas, centrados no que são hoje subdisciplinas matemáticas florescentes, como a teoria das formas quadráticas e as curvas algébricas reais.
Existem dois problemas que, além de não terem sido resolvidos, não podem ser resolvidos com as técnicas modernas. O sexto problema consiste na axiomatização da física, uma meta para os físicos do século XX (inclusive, isto é visto como uma disciplina independente da matemática) se tornou tanto mais remoto quanto menos importante na época de Hilbert. Também o quarto problema, que envolve as fundações da geometria, foi escrito de maneira muito vaga, não chegando, assim, a uma resposta definitiva.
Notavelmente, os outros vinte e um problemas receberam uma atenção significante e, no final do século vinte, trabalhos com estes problemas ainda são de grande importância. Paul Cohen recebeu a Medalha Fields, em 1966, por seu trabalho no primeiro problema e pela solução negativa para o décimo problema em 1970 por Matiyasevich (completando o trabalho de Davis, Putnam e Robinson) geraram uma aclamação similar. Aspectos desses problemas ainda despertam grande interesse hoje.
Ignorabimus
Muitos dos problemas de Hilbert foram resolvidos de maneira surpreendente, e por vezes de forma perturbadora, até mesmo para o próprio Hilbert. Seguindo Frege e Russell, Hilbert procurou definir a matemática através da lógica, usando o método de sistemas formais, ou seja, provas finitistas a partir de um conjunto constituído por axiomas. Um dos principais objetivos do programa de Hilbert era uma prova finitista da consistência dos axiomas da aritmética: o que fora proposto em seu segundo problema.
No entanto, o segundo teorema da incompletude de Gödel mostra que uma prova finitista da consistência da aritmética é comprovadamente impossível. Hilbert viveu por 12 anos após o teorema de Gödel, mas parece que não escreveu qualquer resposta formal ao seu trabalho. Mesmo assim, sem dúvida, a importância do trabalho de Gödel para a matemática como um todo (não apenas na lógica formal) foi amplamente ilustrado por sua aplicabilidade a um dos problemas de Hilbert.
O décimo problema de Hilbert não pergunta se existe um algoritmo para decidir a solubilidade de equações diofantinas, mas pede a construção de um algoritmo que possa determinar, em um número finito de operações, se a equação é solúvel por números inteiros e racionais. Este problema foi resolvido, mostrando que não pode haver qualquer algoritmo que satisfaça o que foi proposto, o que presumivelmente foi bastante surpreendente para ele.
Ao discutir sua opinião de que todo problema matemático deve ter uma solução, Hilbert permite que, possivelmente, uma solução poderia ser uma prova de que o problema original é impossível. Notoriamente, ele afirmou que a questão é saber de um jeito ou de outro qual é a solução, pois ele acreditava que sempre poderíamos encontrá-lo, e que na matemática não há qualquer "ignorabimus" (declaração cuja verdade nunca possa ser conhecida). Parece claro que se ele tivesse considerado a solução do décimo problema como uma instância do ignorabimus, estaríamos provando que “não existir” não é a solução inteira, mas (de certa forma) a nossa própria capacidade de discernir (de uma maneira específica) se existe uma solução.
Por outro lado, a situação do primeiro e segundo problemas são ainda mais complicados, pois não existe qualquer consenso matemático claro se os resultados de Gödel (para o segundo problema), ou Gödel e Cohen (para o primeiro problema) dão soluções definitivas negativas ou não, uma vez que estas soluções são aplicáveis a certa formalização de problemas, formalização esta que é bastante razoável, mas não é necessariamente a única possível.
O 24.° problema
Ao preparar os problemas, Hilbert havia listado 24 problemas, mas acabou decidindo não propor um deles. O 24.° era sobre um critério para simplicidade e métodos gerais em Teoria de Prova. Deve-se a descoberta deste problema a Rüdiger Thiele, em 2000.
Consequências
Desde 1900, matemáticos e organizações matemáticas anunciaram várias listas de problemas, com algumas exceções, essas coleções não tiveram tanta influência nem provocaram tanto trabalho como os problemas de Hilbert.
Uma das exceções é feita por três conjecturas feitas por André Weil durante a década de 40 (as conjecturas de Weil). Nos campos da geometria algébrica, teoria dos números e as ligações entre as duas, as conjecturas de Weil foram muito importantes. A primeira das conjecturas de Weil foi provada por Bernard Dwork, e uma prova completamente diferente das duas primeiras conjecturas via chomologia l-ádica foi dada por Alexander Grothendieck. A última e mais profunda das conjecturas de Weil (um análogo da hipótese de Riemann) foi provada por Pierre Deligne. Ambos Grothendieck e Deligne foram premiados com a medalha Fields. No entanto, as conjecturas de Weil em seu âmbito se assemelham mais a um simples problema de Hilbert, e Weil nunca os alvejou como um programa para toda a matemática. Isso é um pouco irônico, já que indiscutivelmente Weil era o matemático das décadas de 40 e 50 que melhor desempenhou o papel de Hilbert, sendo familiarizado com quase todas as áreas da matemática (teórica) e de ter sido importante para o desenvolvimento de muitos delas.
Paul Erdős é considerado uma lenda por ter colocado centenas, se não milhares, de problemas matemáticos, muitos deles ditos como profundo. Erdős frequentemente oferecia recompensas monetárias; e o tamanho da recompensa dependia da dificuldade associada ao problema.
O fim do milênio, sendo também o centenário do anúncio dos problemas de Hilbert, foi uma ocasião singular para propor "um novo conjunto de problemas de Hilbert." Vários matemáticos aceitaram o desafio, notavelmente o medalhista Steve Smale, que respondeu a um pedido de Vladimir Arnold, propondo uma lista de 18 problemas. Os problemas de Smale, até agora, não receberam muita atenção da mídia, e ainda não está claro o nível de seriedade que a comunidade matemática está dando a eles.
Pelo menos na grande mídia, o análogo do século XXI dos problemas de Hilbert é a lista de sete Millennium Prize Problems escolhido em 2000 pelo Instituto Clay de Matemática. Ao contrário dos problemas de Hilbert, onde o prêmio principal foi a admiração de Hilbert em particular e os matemáticos em geral, cada problema-prêmio inclui uma recompensa de milhões de dólares. Tal como acontece com os problemas de Hilbert, um dos problemas-prémio (a conjectura de Poincaré) foi resolvido em relativamente pouco tempo depois que os problemas foram anunciados.
Notável por sua aparição na lista de problemas de Hilbert, a lista de Smale e a lista de Millennium Prize Problems - e até mesmo, em seu disfarce geométrico, nas Conjecturas de Weil - é a hipótese de Riemann. Apesar de alguns ataques famosos recentes de grandes matemáticos atuais, muitos especialistas acreditam que a hipótese de Riemann ainda será incluída em listas de problemas durante séculos. Hilbert se declarou: "Se eu despertasse depois de ter dormido durante mil anos, a minha primeira pergunta seria: a hipótese de Riemann foi provada?"
Em 2008, a DARPA anunciou a sua própria lista de 23 problemas que ele esperava que pudessem causar grandes descobertas matemáticas "desse modo reforçando as capacidades científicas e tecnológicas do DoD".
O resultado de independência de Cohen, mostrando que a hipótese do Continuum (HC) independe do axioma de Zermelo-Fränkel e do axioma da escolha (ZFC) é frequentemente citado para justificar a asserção que o primeiro problema foi resolvido, apesar de que possa ser possível que a Teoria dos Conjuntos deveria ter axiomas adicionais capazes de resolver o problema.
Gödel demonstrou em 1931, através do seu teorema da Incompletude, que isso não podia ser demonstrado sem sair da aritmética. Gerhard Gentzen, no entanto, demonstrou que a resposta era afirmativa colocando-se o problema no âmbito da Teoria dos Conjuntos.
Dehn, aluno de Hilbert, mostrou que não já em 1900, demonstrando que era impossível dividir um cubo e um tetraedro regular de mesmo volume em um número finito de poliedros idênticos dois a dois. Apesar de tudo, o paradoxo de Banach–Tarski constitui um resultado positivo para essa questão, porém sua demonstração depende do axioma da escolha.
Segundo Rowe & Gray (veja referência abaixo), a maioria dos problemas foram resolvidos. Alguns não foram completamente definidos, mas progresso suficiente foi feito para que se possa considerá-los como "resolvidos"; Rowe & Gray consideram o quarto problema como vago demais para se dizer se foi ou não resolvido.
Graças à aparição da Teoria da Relatividade e da Mecânica Quântica, o problema tornou-se rapidamente obsoleto. No entanto, pode-se notar que a Física teórica e a Matemática se aproximam cada vez mais. Atualmente, existem vários axiomas usados na física quântica: Os Axiomas de John von Neumann, os Axiomas de Wightman, etc.
Os trabalhos de Gelfond, completados por Schneider e Baker, permitiram a resolução parcial deste problema (ver Teorema de Gelfond-Schneider).
O problema 8 contém dois famosos problemas, e ambos permanecem sem solução. O primeiro deles, a hipótese de Riemann, é um dos 7 problemas do Prémio Millenium, que têm a fama de serem os "Problemas de Hilbert" do século XXI. Progressos foram feitos por Pierre Deligne, que demonstrou as conjecturas de Weil, e recebeu por isso a medalha Fields en 1978, mas estima-se que a solução do problema ainda esteja longe. A Conjectura de Goldbach também permanece sem qualquer solução definitiva.
Foi somente com os trabalhos de Church et Turing em 1930 que se definiu rigorosamente a noção de algoritmo. Em 1970, Yuri Matiyasevich, estabelecendo uma equivalência entre os conjuntos recursivamente enumeráveis e os conjuntos diofantinos, estabeleceu que um tal algoritmo não podia existir.
Este problema aberto é de multiplicação complexa num campo imaginário quadrático e Robert Langlands o incluiu no seu Programa, iniciado em 1967. Boa parte do problema ainda não foi resolvido, sendo ligado ao Teorema de Kronecker-Weber e a uma formulação da Física Quântica nomeada ''Bayesianismo Quântico'' [sigla internacional: QBism].
O problema está aberto e no seu status atual, a definição da solução está em 2 conceitos: uma investigação das posições relativas das marcas das curvas algébricas de ordem n (e similaridades em superfícies algébricas); a determinação do limite superior do número de ciclos de limites em polinômios de campos vetoriais de ordem n e uma consequente investigação de suas posições relativas.
Rowe & Gray também consideram o 18° problema como "aberto" em seu livro de 2000, porque o problema de empacotamento de esferas (também conhecido como a conjectura de Kepler) não estava resolvido, mas uma solução para ele foi anunciada em 1998 por Thomas Hall. A outra parte do problema foi resolvida por Ludwig Bieberbach em 1910.
Resolvido por Sergei Bernstein e Tibor Rado em 1929. Em 1957, surgiram duas novas soluções para esta questão: uma do italiano Ennio de Giorgi e outra, do americano John Nash [este usando métodos originais e sem saber da solução de Ennio].
O resultado é descoberto por solução em casos não-lineares.
