Pierścień endomorfizmów – pierścień skojarzony z pewnym rodzajem obiektów, który zawiera pewną informację o jego własnościach wewnętrznych.
Grupy abelowe
Niech
będzie grupą abelową. Zgodnie z nazwą, elementami pierścienia endomorfizmów grupy
są endomorfizmy określone na
tzn. homomorfizmy grupowe
Każde dwa takie endomorfizmy
oraz
mogą być dodawane (zgodnie z wzorem
), a ich wynik,
również jest endomorfizmem
Co więcej,
i
mogą być składane, dając tym samym endomorfizm
Zbiór wszystkich endomorfizmów
wraz ze wspomnianym dodawaniem i mnożeniem (danym jako składanie) spełnia aksjomaty pierścienia; jego jedynką jest przekształcenie tożsamościowe na
Pierścienie endomorfizmów zwykle nie są przemienne.
- Uwaga
- Powyższa konstrukcja nie działa dla grup nieabelowych: suma dwóch homomorfizmów nie musi być wówczas homomorfizmem[1]
Moduły i przestrzenie liniowe
Definicja pierścienia endomorfizmów wygląda identycznie dla dowolnego modułu – zamiast homomorfizmów grupowych należy jedynie wykorzystać homomorfizmy modułów. Każdy pierścień jest pierścieniem endomorfizmów pewnego modułu (regularnego[2], ang. regular). Odwrotnie,
-moduł
jest niczym innym, jak homomorfizmem pierścienia
w pierścień endomorfizmów grupy addytywnej
Jeżeli
jest przestrzeń liniową nad ciałem
to pierścień endomorfizmów
(składający się ze wszystkich
-przekształceń liniowych
) utożsamia się w naturalny sposób z pierścieniem macierzy typu
o elementach z
[3] (zob. macierz).
Teoria kategorii
W ogólności pierścienie endomorfizmów można definiować dla obiektów dowolnej kategorii preaddytywnej. Warto wspomnieć, że możliwe jest zdefiniowanie w naturalny sposób funktora z kategorii grup abelowych
w kategorię pierścieni
za pomocą pojęcia pierścienia endomorfizmów.
Własności
- Pierścień endomorfizmów grupy abelowej jest trywialny wtedy i tylko wtedy, gdy wspomniana grupa jest trywialna.
Często możliwe jest wyrażenie własności obiektów za pomocą własności jego pierścienia endomorfizmów, np.:
- jeżeli moduł jest prosty, to jego pierścień endomorfizmów jest pierścieniem z dzieleniem (wynik znany jako lemat Schura)[4];
- moduł jest nierozkładalny wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień endomorfizmów nie zawiera żadnych nietrywialnych idempotentów[5]. Nierozkładalność i silna nierozkładalność są częstokroć definiowane za pomocą odpowiednich własności skojarzonego z nimi pierścienia endomorfizmów.
Przypisy
- ↑ David Dummitt i Richard Foote, Algebra, s. 347.
- ↑ Moduł jest regularny, jeżeli dla skończenie generowanego podmodułu
istnieje homomorfizm
taki, że
jest projektywny i
- ↑ Yu.A. Drozd i V.V. Kirichenko, Finite Dimensional Algebras, Springer-Verlag, Berlin, 1994. s. 23–24.
- ↑ Yu.A. Drozd i V.V. Kirichenko, Finite Dimensional Algebras, Springer-Verlag, Berlin, 1994, s. 31.
- ↑ Yu.A. Drozd i V.V. Kirichenko, Finite Dimensional Algebras, Springer-Verlag, Berlin, 1994, s. 25.