Twierdzenie Cauchy’ego (teoria wyznaczników)
Twierdzenie Cauchy’ego – twierdzenie przypisywane Cauchy’emu, podające wzór na wyznacznik iloczynu dwóch macierzy kwadratowych.
Twierdzenie
Niech będą macierzami kwadratowymi ustalonego stopnia nad tym samym pierścieniem przemiennym (ciałem), wówczas wyznacznik ich iloczynu jest równy iloczynowi ich wyznaczników, czyli prawdziwy jest wzór
![{\displaystyle \det(AB)=\det A\cdot \det B.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aed0145174abe9405270e206269579cb0a2acf46)
Dowód
![{\displaystyle A=[a_{ij}]\in M,B=[b_{ij}],\ i,j=1,\dots ,n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7ef391bb9afe59fe1f00096c39251dff519662a)
![{\displaystyle P:={\begin{bmatrix}A&0\\-I&B\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b89017ecf6d69a653ebee77f77a61ed53e5e65c)
- Korzystając z własności wyznacznika macierzy klatkowej:
![{\displaystyle \det P=\det A\cdot \det B\ \ (\star )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fedee9ebad78cdb127887cfa37d5ef0695aade22)
- Wykonując operacje elementarne na macierzy
sprowadzimy ją do postaci ![{\displaystyle {\begin{bmatrix}A&AB\\-I&0\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c00bed4549f26dc62afbf059714936f7cccb9af)
- Pomnóżmy pierwszą kolumnę macierzy
przez element drugą kolumnę przez trzecią przez n-tą przez a następnie dodajmy każdą z nich do kolumny n+1. Otrzymamy następującą macierz:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}&&&a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+\ldots +a_{1n}b_{n1}&0&\dots &0\\&A&&\vdots &\vdots &&\vdots \\&&&a_{n1}b_{11}+a_{n2}b_{21}+\ldots +a_{nn}b_{n1}&0&\dots &0\\&&&0&b_{12}&\dots &b_{1n}\\&-I&&\vdots &\vdots &&\vdots \\&&&0&b_{n2}&\dots &b_{nn}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71a448b89e5f2b61a5f99cf8232eb2f674e507ec)
- Pomnóżmy pierwszą kolumnę powyższej macierzy przez element
drugą kolumnę przez trzecią przez n-tą przez a następnie dodajmy każdą z nich do kolumny n+2. Otrzymamy następującą macierz:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}&&&a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+\ldots +a_{1n}b_{n1}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+\ldots +a_{1n}b_{n2}&0&\dots &0\\&A&&\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\&&&a_{n1}b_{11}+a_{n2}b_{21}+\ldots +a_{nn}b_{n1}&a_{n1}b_{12}+a_{n2}b_{22}+\ldots +a_{nn}b_{n2}&0&\dots &0\\&&&0&0&b_{13}&\dots &b_{1n}\\&-I&&\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\&&&0&0&b_{n3}&\dots &b_{nn}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a209db60b1a86a4da6b81d87afe7474b1afd24fb)
- Wykonując dalej analogiczne czynności otrzymamy macierz:
![{\displaystyle Q:={\begin{bmatrix}A&AB\\-I&0\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c35cb639d6ea05826cca2ff906f20d843b4f203b)
- Dodanie dowolnej wielokrotności jednej kolumny do drugiej nie zmienia wartości wyznacznika, więc
![{\displaystyle \det P=\det Q.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e799b57655dcc2fd910b5d4d792fde4701f40dfb)
- Korzystając z własności wyznacznika macierzy klatkowej mamy:
![{\displaystyle \det Q=(-1)^{n^{2}}\det(-I)\det(AB)=(-1)^{n^{2}}\cdot (-1)^{n}\det I\det(AB)=\det(AB)\ \ (\star \star )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3dc7e7af43518e74e323168d7432eb9d9f7b9cc)
jest zawsze parzyste, więc ![{\displaystyle (-1)^{n^{2}+n}=1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64cd37bfb22d4ab5387ad758bd2b9b52490dc18d)
Co kończy dowód twierdzenia.
Wnioski
![{\displaystyle \det(AB)=\det A\cdot \det B=\det B\cdot \det A=\det(BA)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b47b506abe28dfd287e773299b6bb22678823479)
- Jeżeli
jest macierzą odwracalną, wówczas jest ona także nieosobliwa. Ponieważ oraz to i dalej a stąd Słownie: wyznacznik macierzy odwrotnej do danej jest równy odwrotności wyznacznika tej macierzy.
- Wyznaczniki macierzy podobnych są równe, niech
oraz będą takimi macierzami, wtedy
![{\displaystyle \det B=\det(P^{-1}AP)=\det(PP^{-1}A)=\det A.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/755abde572644ea8c6a1517f62286a04f434812f)
Bibliografia
Linki zewnętrzne
Cauchy Binet formula (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].
Niektóre typy macierzy | Cechy niezależne od bazy |
|
---|
Cechy zależne od bazy |
|
---|
|
---|
Operacje na macierzach | jednoargumentowe |
|
---|
dwuargumentowe |
|
---|
|
---|
Niezmienniki | |
---|
Inne pojęcia |
|
---|
|
|