Twierdzenie Cayleya-Hamiltona mówi, że każda macierz kwadratowa nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych jest pierwiastkiem swojego wielomianu charakterystycznego[1]. Nazwa upamiętnia matematyków: Arthura Cayleya i Williama Hamiltona
Dokładniej; jeżeli
jest macierzą
oraz
jest macierzą identycznościową
to wielomian charakterystyczny
jest zdefiniowany jako:
![{\displaystyle w(\lambda )=\det(\lambda I_{n}-A),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14c71148475edab08da0a1585d3e6f86b0f19025)
gdzie
oznacza wyznacznik.
Twierdzenie Cayleya-Hamiltona mówi, że podstawienie
do wielomianu charakterystycznego daje w rezultacie macierz złożoną z samych zer:
![{\displaystyle w(A)=0_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/485c92c449d74c324bab44d6476bd5169ff3d54d)
Ważnym wnioskiem z teorii Cayleya-Hamiltona jest fakt, że wielomian minimalny danej macierzy jest dzielnikiem wielomianu charakterystycznego. Jest to bardzo przydatne podczas znajdowania postaci Jordana danej macierzy.
Przykład
Rozważmy macierz
![{\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2ad022957cb84bddcab9e9ed7c0828bc28c3aba)
Wielomian charakterystyczny tej macierzy ma następującą postać:
![{\displaystyle w(\lambda )={\begin{vmatrix}\lambda -1&-2\\-3&\lambda -4\end{vmatrix}}=(\lambda -1)(\lambda -4)-2\cdot 3=\lambda ^{2}-5\lambda -2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/598c897124b23df31946fd701aa19987e3f21e01)
Twierdzenie Cayleya-Hamiltona mówi, że
![{\displaystyle A^{2}-5A-2I_{2}=0_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/263cb6c08d3a80384743e926062d6bb2ce253310)
czyli:
![{\displaystyle {\begin{aligned}A^{2}-5A-2I_{2}&={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{2}-5\cdot {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}-2\cdot {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\\[1ex]&={\begin{bmatrix}7&10\\15&22\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}5&10\\15&20\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}2&0\\0&2\end{bmatrix}}\\[1ex]&={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0276b3fbab3deece30504a448a82884b36bee981)
Twierdzenie Cayleya-Hamiltona pozwala obliczać potęgi macierzy o wiele prościej, niż przez bezpośrednie mnożenia.
Biorąc powyższe wyniki
![{\displaystyle A^{2}-5A-2I_{2}=0_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/263cb6c08d3a80384743e926062d6bb2ce253310)
![{\displaystyle A^{2}=5A+2I_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85fc279d565ca8355a6d831976b452ee56f093a6)
policzmy
![{\displaystyle A^{3}=(5A+2I_{2})A=5A^{2}+2A=5(5A+2I_{2})+2A=27A+10I_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45402b7f472df72b3e3ac626c558c749e737c351)
![{\displaystyle A^{4}=A^{3}A=(27A+10I_{2})A=27A^{2}+10A=27(5A+2I_{2})+10A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a8628d1efdf740458bd5b3c5d559ddaa75e5b2b)
![{\displaystyle A^{4}=145A+54I_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d466a2672b9790d16de6594fdc048a7c067faec)
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne