Klasa monotoniczna

Klasa monotoniczna – rodzina zbiorów zamkniętych ze względu na granice ciągów monotonicznych badana przede wszystkim w teorii mnogości i teorii miary.

Definicja

Niepustą rodzinę zbiorów ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ nazywa się klasą monotoniczną, jeśli wraz z każdym ciągiem monotonicznym ${\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ zbiorów rodziny ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ należy do niej również granica ${\displaystyle \lim A_{n}}$ tego ciągu; w szczególności^[1]:

• jeśli ciąg ${\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ jest nierosnący, tzn. ${\displaystyle A_{n}\supseteq A_{n+1},}$ to

  ${\displaystyle \lim A_{n}=\bigcap _{n}A_{n}\in {\mathfrak {M}}}$

oraz

• jeśli ciąg ${\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ jest niemalejący, tzn. ${\displaystyle A_{n}\subseteq A_{n+1}}$ to

  ${\displaystyle \lim A_{n}=\bigcup _{n}A_{n}\in {\mathfrak {M}}.}$

Najmniejszą klasę monotoniczną zawierającą rodzinę zbiorów ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ oznacza się ${\displaystyle \mathrm {M} ({\mathfrak {A}})}$ nazywa się klasą monotoniczną generowaną przez tę rodzinę,

${\displaystyle \mathrm {M} ({\mathfrak {A}})=\bigcap {\big \{}{\mathfrak {M}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)\colon {\mathfrak {A}}\subset {\mathfrak {M}},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ jest klasą monotoniczną podzbiorów zbioru ${\displaystyle X{\big \}},}$

gdzie ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ oznacza zbiór potęgowy ${\displaystyle X.}$

Właściwości

• Każde σ-ciało zbiorów jest klasą monotoniczną.
• Jeśli ciało zbiorów jest klasą monotoniczną, to jest także σ-ciałem.
• Jeśli ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ jest ciałem zbiorów, to ${\displaystyle \sigma ({\mathfrak {A}})=\mathrm {M} ({\mathfrak {A}}),}$ gdzie ${\displaystyle \sigma ({\mathfrak {A}})}$ i ${\displaystyle \mathrm {M} ({\mathfrak {A}})}$ oznaczają odpowiednio σ-ciało zbiorów i klasę monotoniczną generowane przez rodzinę ${\displaystyle {\mathfrak {A}}.}$

Przypisy

1. Rafał Czyż, σ-algebry i przestrzenie mierzalne [w:] Teoria miary i całki, Instytut Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego, im.uj.edu.pl [dostęp 2024-06-01].