![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/72/Disambig.svg/25px-Disambig.svg.png) |
Ten artykuł dotyczy teorii mnogości i teorii miary. Zobacz też: zbiór monotoniczny w analizie funkcjonalnej. |
Klasa monotoniczna – rodzina zbiorów zamkniętych ze względu na granice ciągów monotonicznych badana przede wszystkim w teorii mnogości i teorii miary.
Definicja
Niepustą rodzinę zbiorów
nazywa się klasą monotoniczną, jeśli wraz z każdym ciągiem monotonicznym
zbiorów rodziny
należy do niej również granica
tego ciągu; w szczególności[1]:
- jeśli ciąg
jest nierosnący, tzn.
to
![{\displaystyle \lim A_{n}=\bigcap _{n}A_{n}\in {\mathfrak {M}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cda8621c4ea13ddf9394c80247de34d47289cd0d)
oraz
- jeśli ciąg
jest niemalejący, tzn.
to
![{\displaystyle \lim A_{n}=\bigcup _{n}A_{n}\in {\mathfrak {M}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c5d975f5466bbaa2a438cd12630fc0ce50936d7)
Najmniejszą klasę monotoniczną zawierającą rodzinę zbiorów
oznacza się
nazywa się klasą monotoniczną generowaną przez tę rodzinę,
jest klasą monotoniczną podzbiorów zbioru ![{\displaystyle X{\big \}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e22812c35fede037e64d47567974664244d6af1)
gdzie
oznacza zbiór potęgowy
Właściwości
- Każde σ-ciało zbiorów jest klasą monotoniczną.
- Jeśli ciało zbiorów jest klasą monotoniczną, to jest także σ-ciałem.
- Jeśli
jest ciałem zbiorów, to
gdzie
i
oznaczają odpowiednio σ-ciało zbiorów i klasę monotoniczną generowane przez rodzinę ![{\displaystyle {\mathfrak {A}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b5bb7c85dcdc1c26808b29291cf16fec7c9f59c)
Przypisy