Półpierścień – struktura algebraiczna podobna do pierścienia, która jednak nie musi być grupą względem dodawania. Oznacza to, że elementy półpierścienia nie muszą mieć elementu przeciwnego do siebie.
Definicja
Półpierścień jest to zbiór R z ustalonymi działaniami + i · nazywanymi odpowiednio dodawaniem i mnożeniem, spełniającymi:
jest półgrupą przemienną z elementem neutralnym 0:
![{\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46b7b8d31d5845966e6abdbb030c73f343c17d4e)
![{\displaystyle 0+a=a+0=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3c942c503fbd5094d165ac732129a285e29cfcc)
![{\displaystyle a+b=b+a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/684f43b5094501674e8314be5e24a80ee64682e3)
jest półgrupą z elementem neutralnym 1:
![{\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e48cd711b9a1eb1c3a2372ba01fa48ca7e262a1)
![{\displaystyle 1\cdot a=a\cdot 1=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0f86c1986522b7a32122c47de4d94feb660d994)
- Mnożenie jest rozdzielne względem dodawania:
![{\displaystyle a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0969d65db9f1f1097aa4f72bcddac8c46f1ca6ef)
![{\displaystyle (a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0fcfcbff5acae21f0e92ca523b649f087d791f0)
- Mnożenie elementów R przez 0 daje 0:
![{\displaystyle 0\cdot a=a\cdot 0=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f2609b6da8b79651efecd4a2c60e28cd9d4ee8a)
Ostatni z powyższych aksjomatów jest pomijany w definicji pierścienia, ponieważ wynika z wcześniejszych aksjomatów pierścienia. Tutaj jednak jest on niezbędny.
Półpierścień jest więc przemienną półgrupą względem dodawanie i niekoniecznie przemienną półgrupą względem mnożenia. W szczególności elementy w półpierścieniu nie muszą mieć elementów przeciwnych.
Symbol mnożenia ( · ) jest zwykle pomijany w zapisie. Przykładowo: a·b może być zapisane jako ab. Stosowana jest też kolejność wykonywania działań, według której mnożenie ( · ) wykonywane jest przed dodawaniem (+).
Półpierścień przemienny jest to półpierścień, w którym mnożenie jest przemienne. Półpierścień idempotentny jest to półpierścień, w którym dodawanie jest idempotentne (czyli a+a=a).
Bibliografia
- François Baccelli, Guy Cohen, Geert Jan Olsder, Jean-Pierre Quadrat, Synchronization and Linearity (online version), Wiley, 1992, ISBN 0-471-93609-X
- Golan, Jonathan S., Semirings and their applications. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1999. xii+381 pp. ISBN 0-7923-5786-8
Linki zewnętrzne
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Semiring, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-03-07].
Semi-ring (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-03-25].
z jednym działaniem wewnętrznym – grupoidy (magmy) | |
---|
z dwoma działaniami wewnętrznymi | |
---|
z działaniem wewnętrznym i zewnętrznym |
|
---|
z dwoma działaniami wewnętrznymi i zewnętrznym |
|
---|
inne |
|
---|