Syn Wacława i Zenobii[1]. W 1990 ukończył studia na Wydziale Stomatologii Akademii Medycznej w Lublinie, gdzie w 1999 uzyskał następnie stopień doktora nauk medycznych (specjalność stomatologia dziecięca) na podstawie pracy pt. Ryzyko choroby próchnicowej u dzieci 7-letnich z makroregionu lubelskiego. Do 1998 był asystentem w Państwowym Szpitalu Klinicznym nr 1 w Lublinie. W 1999 objął funkcję prezesa zarządu wydawnictwa „Czelej”. Wyróżniany nagrodami miesięcznika „Forbes”, nagrodami Gazel Biznesu w 2007 i 2008, nagrodą „Gazety Bankowej” i innymi.
W 2010 został wysunięty przez PiS na kandydata do Krajowej Rady Radiofonii i Telewizji, jednak w senackim głosowaniu 22 lipca 2010 przegrał ze Stefanem Pastuszką[2]. W 2011 skutecznie ubiegał się o reelekcję do Senatu, w nowym okręgu jednomandatowym dostał 65 504 głosy[3]. W 2015 został ponownie wybrany na senatora, otrzymując 96 101 głosów[4]. 12 listopada 2015 wybrany na wicemarszałka Senatu IX kadencji[5]. 20 kwietnia 2017 podał się do dymisji, po czym został odwołany z zajmowanej funkcji wicemarszałka[6].
W 2019 i 2023 Grzegorz Czelej był wybierany na kolejne kadencje Senatu, otrzymując odpowiednio 116 605 głosów oraz 119 498 głosów[7][8].