Algebra von Neumanna

Algebra von Neumanna (albo W*-algebra) – *-podalgebra C*-algebry operatorów ograniczonych na pewnej przestrzeni Hilberta która jest domknięta w słabej topologii operatorowej. Domkniętość w słabej topologii operatorowej gwarantuje również domkniętość względem normy w a więc każda algebra von Neumanna jest, w szczególności, C*-algebrą.

Teoria algebr von Neumanna zapoczątkowana została z końcem lat dwudziestych XX wieku przez Johna von Neumanna i Francisa Murraya[1][2][3][4][5] (używali oni nazwy pierścienie operatorowe) i motywowana była potrzebą formalizacji języka mechaniki kwantowej[6]. Nazwa algebra von Neumanna pojawia się po raz pierwszy w książce Dixmiera[7] jednak on sam przypisuje ją Dieudonnému[8]. W literaturze nazwa ta była używana wymiennie z nazwą W*-algebra (od ang. weakly closed *-algebra). Niektórzy autorzy (np. Takesaki) dokonują następującego rozróżnienia nazywając W*-algebrą C*-algebrę która maja wierną (różnowartościową) reprezentację na przestrzeni Hilberta o tej własności, iż obraz jest algebrą von Neumanna (w zdefiniowanym wyżej sensie).

Podstawowe własności

  • Każda algebra von Neumanna ma jedynkę.
  • Domknięta kula jednostkowa algebry von Neumanna jest zwarta w słabej topologii operatorowej.
  • Algebra von Neumanna jest ośrodkowa względem normy wtedy i tylko wtedy, gdy jest skończenie wymiarowa.
  • Każda nieskończenie wymiarowa algebra von Neumanna zawiera nieskończenie wymiarową podalgebrę przemienną, która jest również algebrą von Neumanna.

Twierdzenie von Neumanna o drugim komutancie

Mimo iż definicja algebry von Neumanna używa pojęcia słabej topologii operatorowej, jest ona równoważna definicji czysto algebraicznej. Niech będzie przestrzenią Hilberta. Dla danego podzbioru symbol oznacza komutant zbioru tj. zbiór Analogicznie, oznacza drugi komutant zbioru tj. komutant komutanta

Niech będzie pod-*-algebrą zawierającą operator identyczności Wówczas następujące warunki są równoważne:

  1. jest domknięta w słabej topologii operatorowej (tj. jest algebrą von Neumanna);
  2. jest domknięta w mocnej topologii operatorowej;
  3. jest domknięta w topologii ultrasłabej,

przy czym topologia ultrasłaba to topologia *-słaba pochodząca z dualności gdzie oznacza przestrzeń Banacha operatorów nuklearnych (śladowych) na

Różni autorzy używają wymiennie wymienionych wyżej warunków do zdefiniowania pojęcia algebry von Neumanna.

Przykłady

  • Każda skończenie wymiarowa C*-algebra oraz algebra operatorów na dowolnej przestrzeni Hilberta są naturalnymi przykładami algebr von Neumanna.
  • Niech będzie miarą lokalizowalną (a więc, na przykład, miarą -skończoną) na przestrzeni mierzalnej Wówczas przestrzeń H = L2(μ) jest przestrzenią Hilberta. Na przestrzeni tej działają w naturalny sposób operatory mnożenia przez funkcje z tj. każdej funkcji odpowiada operator (ograniczony) dany wzorem Rodzina wszystkich operatorów mnożenia jest przemienną podalgebrą która jest algebrą von Neumanna (w ten sposób utożsamia się algebrę z algebrą operatorów). Można udowodnić, że każda przemienna algebra von Neumanna jest postaci dla pewnej miary lokalizowalnej
  • Dla dowolnej C*-algebry jej drugi komutant jest algebrą von Neumanna.
  • Jeżeli jest (być może abstrakcyjną) C*-algebrą, to jej druga przestrzeń sprzężona (wyposażona w iloczyn Arensa; C*-algebry są regularne w sensie Arensa) jest *-izomorficzna z algebrą von Neumanna. Algebra jest uniwersalną algebrą von Neumanna dla w następującym sensie: Niech będzie reprezentacją na przestrzeni Hilberta oraz niech oznacza algebrę von Neumanna Wówczas istnieje dokładnie jedno przekształcenie liniowe o następujących własnościach: gdzie jest kanonicznym zanurzeniem w jest / -weak ciągłe; W szczególności, jeżeli jest uniwersalną reprezentacją algebry (tj. sumą prostą po wszystkich GNS-reprezentacjach pochodzących od stanów na ), to jest *-izomorficzna z
  • Hiperskończony faktor typu II1

Typy

Algebry von Neumanna dzielą się na trzy zasadnicze typy.

  • Typ I: jest typu I, gdy jest izomorficzna z algebrą postaci
gdzie dla każdego algebra jest przemienną algebrą von Neumanna oraz jest pewną przestrzenią Hilberta
  • Typ II1: jest typu II1, gdy nie da się jej rozłożyć na sumę algebr spośród których co najmniej jedna jest typu I oraz dla każdego istnieje taki normalny śladowy stan że
  • Typ jest typu gdy nie da się jej rozłożyć na sumę algebr spośród których co najmniej jedna jest typu I bądź II1 oraz istnieje rosnąca sieć rzutów zbieżna do w mocnej topologii operatorowej, o tej własności, że dla każdego algebra jest typu II1.
  • Typ III: jest typu III, gdy nie jest typu I, II1 ani typ

Każda algebra von Neumanna rozkłada się na sumę

gdzie każdy z (być może zerowych) jest takiego typu, jaki wskazany jest w indeksie dolnym.

Przypisy

  1. J. von Neumann, Zur Theorie der unbeschränkten Matrizen, „J. Reine Angew Math”. vol. 161 (1929) 208–236.
  2. J. von Neumann, On a certain topology for rings of operators, „Ann. of Math.” (2) 37 (1936), no. 1, 111–115.
  3. F.J. Murray, J. von Neumann, On rings of operators, „Ann. of Math.” (2) 37 (1936), no. 1, 116–229. MR 1503275, http://dx.doi.org/10.2307/1968693.
  4. F.J. Murray and J. von Neumann, On rings of operators. II, „Trans. Amer. Math. Soc.41 (1937), no. 2, 208–248. MR 1501899, http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-1937-1501899-4.
  5. J. von Neumann, On rings of operators, III, „Ann. of Math”. vol. 41 (1940) 94–161.
  6. J. von Neumann, On an algebraic generalization of the quantum mechanical formalism (Part I). „Rec. Math (Mat. Sbornik) N. S.” vol. 1 (1936) 415–484.
  7. J. Dixmier, Les algèbres d’opérateurs dans l’espace hilbertien: algèbres de von Neumann, Gauthier-Villars, 1957.
  8. M. Raussen, Interview with Jacques Dixmier. „Eur. Math. Soc. Newsl.” 72 (2009), 34–41.

Linki zewnętrzne

  • publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Von Neumann algebra (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].

Read other articles:

Claudius Graf-Schelling als Regierungsrat (2012) Claudius Graf-Schelling (* 1. April 1950 in Romanshorn; † 24. November 2019 in Arbon[1]) war ein Schweizer Politiker (SP). Er war zwischen Juni 2000 und Ende Mai 2015 Regierungsrat im Kanton Thurgau. Inhaltsverzeichnis 1 Leben 1.1 Familie 1.2 Ausbildung und Beruf 1.3 Politische Tätigkeit 1.4 Politische Positionen 2 Publikationen 3 Einzelnachweise Leben Familie Graf-Schelling war der Sohn von Madeleine und Albert Graf-Bourquin. Er hat...

 

Пульс-2: Після життяангл. Pulse 2: AfterlifeЖанр горор, фільм-трилер, науково-фантастичний фільм і фільм-антиутопіяdРежисер Joel Soissond[1]Сценарист Joel SoissondУ головних ролях Джеймі БамберКомпозитор Elia CmíraldДистриб'ютор The Weinstein Company і NetflixТривалість 89 хв.Мова англійська

 

هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالات متعلقة بها. (يوليو 2019) C12H8N2 هي صيغة كيميائية[1] تحتوي على 12 ذرة من الكربون و8 ذرات من الهيدروجين وذرتين من النيتروجين وتبلغ كتلتها المولية 180.2054 غ.مول-1. ومن المركبات الكيميائية الت

60th Miss International competition, beauty pageant edition Miss International 2022Jasmin Selberg, Miss International 2022DateDecember 13, 2022PresentersTetsuya BesshoRachel ChanEntertainmentMiyaviKodōThemeBeauties For SDGsVenueTokyo Dome City Hall, Tokyo, JapanEntrants66Placements15DebutsCape VerdeUzbekistanWithdrawalsArgentinaArmeniaArubaBelizeBurkina FasoCameroonChinaCôte d'IvoireEquatorial GuineaGhanaGuadeloupeGuamLiberiaMoroccoMyanmarNetherlandsRussiaSouth SudanSri LankaSwedenTahitiTun...

 

MahafalyMahafaly childrenJumlah populasica. 150,000 (2013)Daerah dengan populasi signifikanMadagascarBahasaMalagasyKelompok etnik terkaitOther Malagasy groups; Bantu peoples, Austronesian peoples Mahafaly adalah kelompok etnis yang menghuni Madagaskar dataran daerah Betioky-Ampamihy. Nama mereka berarti mereka yang membuat tabu atau orang-orang yang membuatnya bahagia, meskipun sebelumnya dianggap lebih mungkin oleh ahli bahasa.[1] Mereka diyakini telah tiba di Madagaskar dari t...

 

Neha MardaMarda pada tahun 2014Lahir23 September 1985 (umur 38)Kolkata, Benggala Barat, IndiaKebangsaanIndianPekerjaanAktris, PenariTahun aktif2005-sekarangDikenal atas Balika Vadhu Doli Armaano Ki Kyun Rishton Mein Katti Batti Jhalak Dikhhla Jaa Suami/istriAyushman Agarwal ​(m. 2012)​Anak1 Neha Marda (lahir 23 September 1985) adalah seorang aktris televisi India yang dikenal karena perannya sebagai Gehna Singh di Balika Vadhu.[1][2] Pada...

Book by Augustine of Hippo For other uses, see City of God (disambiguation). This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: The City of God – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (January 2021) (Learn how and when to remove this template message) The City of God The City of God , opening text, manusc...

 

For the city known as Jakobstadt in German, see Jēkabpils. You can help expand this article with text translated from the corresponding article in Finnish. (June 2023) Click [show] for important translation instructions. Machine translation, like DeepL or Google Translate, is a useful starting point for translations, but translators must revise errors as necessary and confirm that the translation is accurate, rather than simply copy-pasting machine-translated text into the English Wikip...

 

This article needs to be updated. Please help update this article to reflect recent events or newly available information. (August 2019) Tanggol WikaA rally of members of Tanggol Wika and other groups calling for the junking of the Philippine government's K to 12 program, held in front of the Philippine Supreme Court (2016).Formation2014; 9 years ago (2014)Official language Filipino Tanggol Wika or Alyansa ng Mga Tagapagtanggol ng Wikang Filipino (Alliance of Defenders of th...

Bridge in Southern CroatiaMaslenica BridgeCoordinates44°13′29″N 15°31′52″E / 44.224838°N 15.531192°E / 44.224838; 15.531192CarriesD8 state roadLocaleSouthern CroatiaOfficial nameMost MaslenicaMaintained byHrvatske cesteCharacteristicsDesigndeck arch bridgeTotal length315.3 mWidth10.5 mLongest span155 mClearance below55 mHistoryOpened1961 (original) 2005 (rebuilt)Closed1991-2005 (destroyed)StatisticsTollnoLocation The Maslenica Bridge (Croatian: Most Masleni...

 

American basketball player (1980–2023) Brandon HunterHunter playing for Napoli in 2006Personal informationBorn(1980-11-24)November 24, 1980Cincinnati, Ohio, U.S.DiedSeptember 12, 2023(2023-09-12) (aged 42)Orlando, Florida, U.S.Listed height6 ft 7 in (2.01 m)Listed weight266 lb (121 kg)Career informationHigh schoolWithrow (Cincinnati, Ohio)CollegeOhio (1999–2003)NBA draft2003: 2nd round, 56th overall pickSelected by the Boston CelticsPlaying career2003–2013P...

 

American TV series or program The Strongest Man in HistoryGenreRealityCountry of originUnited StatesNo. of seasons1No. of episodes7 (list of episodes)ProductionExecutive producersTara Long, Rick Hughes, Chris Deaux, Rob Worsoff, Brian Wendel, Mary Donahue, Jennifer WagmanRunning time39–42 minutesProduction companyEntertainment One & Two Fifteen West EntertainmentOriginal releaseNetworkHistoryReleaseJuly 7 (2019-07-07) –August 14, 2019 (2019-08-14) The Strongest Man...

Any one of three DC Comics superheroes Comics character FuryThe Fury (Lyta Hall), as appeared on a splash page of Infinity, Inc. #16 (July 1985), pencils by Todd McFarlane, inks by Tony DeZuniga.Publication informationPublisherDC ComicsFirst appearanceWonder Woman #300 (February 1983)Created byRoy ThomasDanette ThomasRoss AndruIn-story informationFull nameHippolyta Lyta Trevor-HallTeam affiliationsInfinity, Inc.Notable aliasesLyta HallDonna of Amazon Island (Earth 2)AbilitiesSuperhuman streng...

 

Armoured division of the modern-day German Army Not to be confused with 1st Panzer Division (Wehrmacht). 52°22′11.31″N 9°46′11.77″E / 52.3698083°N 9.7699361°E / 52.3698083; 9.7699361 1st Panzer DivisionGerman: 1. Panzerdivision1st Armoured Division insigniaActive1956–presentCountry GermanyBranchArmyTypePanzerSize18,000 soldiers (+3,000 Dutch soldiers from 2019)Part ofGerman ArmyGarrison/HQOldenburg (Oldenburg)Nickname(s)The first one Die ErsteMo...

 

Grand Prix Hungaria 1992 Lomba ke-11 dari 16 dalam Formula Satu musim 1992 Detail perlombaanTanggal 16 Agustus 1992Nama resmi VIII Marlboro Hungarian Grand PrixLokasi Hungaroring, Budapest, HungarySirkuit Fasilitas balap permanenPanjang sirkuit 3.968 km (2.466 mi)Jarak tempuh 77 putaran, 305.536 km (189.851 mi)Cuaca DryPosisi polePembalap Riccardo Patrese Williams-RenaultWaktu 1:15.476Putaran tercepatPembalap Nigel Mansell Williams-RenaultWaktu 1:18.308 putaran ke-63PodiumPertama Ayrton Senna...

For the US state, see Vermont. View of the front Verdmont, located at 6 Verdmont Lane, off Sayle Road, at the top of Collector’s Hill, in Smith's Parish, Bermuda is a historic house built c. 1710, now operated as a museum by the Bermuda National Trust. It is essentially structurally unchanged since it was built and it became a museum in 1956. The house is listed as part of England's African Diaspora Heritage Trail, part of UNESCO's Slave Route Project.[1] In the 17th century, before...

 

Jon Fosse Jon Fosse, en el 2020.Información personalNombre de nacimiento Jon Olav Fosse Nacimiento 29 de septiembre de 1959 (64 años)Haugesund (Noruega) Residencia Hainburg an der Donau Nacionalidad NoruegaReligión CatolicismoFamiliaCónyuge Grethe Fatima Syéd (1993-2009)Anna Fosse (desde 2011) EducaciónEducación Candidatus philologiæ Educado en Universidad de Bergen Información profesionalÁrea Dramaturgia, traducción[editar datos en Wikidata] Jon Fosse, en el 20...

 

Este artículo o sección necesita referencias que aparezcan en una publicación acreditada.Este aviso fue puesto el 16 de noviembre de 2018. Gráfica que representa la densidad de estados frente a la energía para un gas de electrones libres tridimensional. La densidad de estados (DOS) en un sistema físico caracteriza el número existente de estados por cada intervalo de energía. En un sistema cuántico finito (partícula en un pozo) existe un número discreto de estados posibles de la ene...

  Apinae Apis mellifera (la flecha señala la distintiva corbícula)TaxonomíaReino: AnimaliaFilo: ArthropodaClase: InsectaOrden: HymenopteraSuborden: ApocritaSuperfamilia: ApoideaFamilia: ApidaeSubfamilia: ApinaeTribus Ancylaini Anthophorini Apini Bombini Centridini Ctenoplectrini Emphorini Ericrocidini Eucerini Euglossini Exomalopsini Isepeolini Melectini Meliponini Osirini Protepeolini Rhathymini Tapinotaspidini Tetrapediini [editar datos en Wikidata] † Paleohabropoda ouda...

 

Antenele echipamentului de direcție al aeroportului Langenhagen, Hanovra Antenele echipamentului de pantă al aeroportului Langenhagen, Hanovra Un sistem de aterizare instrumentală[1] (engleză instrument landing system – ILS) este un sistem de navigație bazat pe o serie de emițătoare radio care furnizează unui avion care vine la aterizare direcția și panta nominală de coborâre spre pistă. Este destinat pentru asigurarea unei aterizări în siguranță în condiții de zb...

 

Strategi Solo vs Squad di Free Fire: Cara Menang Mudah!