Algebra dyskowa – w analizie funkcjonalnej i zespolonej zbiór funkcji holomorficznych (zwykle oznaczany
)
![{\displaystyle f\colon \mathbb {D} \to \mathbb {C} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb6eb5938b55f0d6e9017cfb3bdb3720226cbc7b)
gdzie
jest otwartym kołem jednostkowym
w płaszczyźnie zespolonej
a
przedłuża się do funkcji ciągłej na domknięciu tego okręgu
[1]. Inaczej mówiąc,
![{\displaystyle A(\mathbb {D} )=H^{\infty }(\mathbb {D} )\cap C({\overline {\mathbb {D} }}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c51811f4a05805df452f347a7ff0419f44949cd)
gdzie
oznacza przestrzeń Banacha funkcji ograniczonych, analitycznych na kole jednostkowym
(tzw. przestrzeń Hardy’ego). Innymi słowy jest to przestrzeń funkcji holomorficznych na otwartym kole jednostkowym i ciągłych na domkniętym kole jednostkowym[2]. Jeśli dodatkowo wyposażymy tę przestrzeń w punktowe dodawanie dane wzorem
oraz mnożenie
przestrzeń ta staje się algebrą nad
ponieważ jest zamknięta na dodawanie i mnożenie.
Definiując na algebrze dyskowej normę supremum:
![{\displaystyle \|f\|=\sup\{|f(z)|\mid z\in \mathbb {D} \}=\max\{|f(z)|\mid z\in {\overline {\mathbb {D} }}\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d4cf1dc3393e7913156b46f1bce83d403724f41)
tak skonstruowana algebra jest przemienną algebrą Banacha będącą algebrą jednostajną[2].
Z konstrukcji algebry dyskowej wynika, że jest ona domkniętą podalgebrą przestrzeni Hardy’ego
wystarczy bowiem zauważyć, że
oraz jest to przestrzeń domknięta (bo jest przestrzenią Banacha), więc tym samym z zamkniętości na dodawanie i mnożenie jest domkniętą podalgebrą przestrzeni Hardy’ego.
Przypisy
Bibliografia