Prijović pochodzi z rodziny serbskich imigrantów. Jego ojciec, Milenko, pochodzi z miasta Priboj, leżącego niedaleko granicy z Czarnogórą. Mama, Mirjana, z małej wsi z Bośni. Poznali się już w Szwajcarii. O swoich serbskich korzeniach powiedział: "Odwiedziłeś kiedyś tę wioskę? - Tak. Kiedy jeszcze żyli moi dziadkowie, jeździliśmy do nich co roku. Przekonałem się wtedy, jak wyglądają rejony, z których wywodzi się moja rodzina. Po kilku godzinach ciśnienie rozsadzało mi głowę, bo znajdowaliśmy się w wysokich górach. Jak już wspominałem, do tej wioski nie jest łatwo się dostać. Ostatnie dwa - trzy kilometry trzeba pokonać pieszo po różnych skałach, bo nie da się wjechać tam samochodem. To miejsce robi wrażenie, szczególnie, gdy przybywasz tam z takiego kraju jak Szwajcaria, gdzie wszystko odbywa się wedle ściśle określonego porządku."[1][2] Dorastał w miejscowości Rorschach, gdzie była spora społeczność serbska. Mówi w kilku językach, oprócz serbskiego i angielskiego, po włosku, francusku i niemiecku. O życiu w Szwajcarii i grze w piłkę nożną powiedział: "Szwajcaria okazała się rajem dla ludzi z Bałkanów. To proste. Uchodźcy nie boją się ciężkiej pracy, pracują na zmiany, biorą najcięższe zajęcia. Dzieci muszą sobie jakoś radzić, a że nie ma pieniędzy, to nie ma tez komputerów i tak dalej - opowiada. - Dzieci idą grać w piłkę i zapominają o wszystkim. Nie ma znaczenia czy grasz na trawie czy na piachu czy jeszcze gdzieś indziej, w Barcelonie czy na podwórku. Po prostu grasz i jesteś szczęśliwy. I tak jest cały czas. Dotykam piłki i jestem stracony. Jak duże dziecko."[3] Wychowanek Parmy Calcio 1913, w swojej karierze grał także w takich zespołach jak Derby County, Yeovil Town, Northampton Town, FC Sion, Lausanne Sports, Tromsø IL, Djurgårdens IF, Boluspor, Legia Warszawa, PAOK FC, Ittihad FC i Western United FC.
29 maja 2011 r. wystąpił w meczu finałowym Pucharu Szwajcarii, wygranym przez FC Sion 2:0. 9 lipca 2011 r. zdobył bramkę w meczu towarzyskim przeciwko Paris Saint-Germain, wygranym przez FC Sion 3:2.
W 2013 roku wystąpił w rozgrywanym w Hiszpanii turnieju Copa del Sol. 30 stycznia zdobył bramkę dla Tromsø IL w meczu grupowym przeciwko Widzewowi Łódź.[4]
W 2015 r. wystąpił w 6 meczach fazy grupowej Ligi Europy, zdobywając bramki w spotkaniach przeciwko FC Midtjylland oraz Napoli. Trafienie Prijović zaliczył również w meczu II rundy kwalifikacyjnej z FC Botoșani. Był to jego trzeci mecz dla Legii. 2 maja 2016 r. zdobył dla warszawskiego klubu zwycięską bramkę w meczu finałowym Pucharu Polski. 17 sierpnia 2016 r. zdobył bramkę w rundzie play-off Ligi Mistrzów, przyczyniając się do awansu polskiego klubu do fazy grupowej rozgrywek. 2 listopada 2016 w meczu 4. kolejki fazy grupowej Ligi Mistrzów zaliczył asystę przy trafieniu Thibault Moulin w meczu przeciwko Realowi Madryt. Bramka ta dała Legii prowadzenie 3 do 2. Mecz zakończył się remisem 3:3[5]. 22 listopada 2016 w meczu 5. kolejki fazy grupowej Ligi Mistrzów przeciwko Borussii Dortmund (4:8) strzelił dwie bramki dla warszawskiej drużyny (na 1:0 i 2:3). Jest trzecim piłkarzem, po Leszku Piszu i Jacku Dembińskim, który strzelił dwie bramki w jednym meczu dla polskiej drużyny w fazie grupowej Ligi Mistrzów[6]. 7 grudnia 2016 również zaliczył asystę przy trafieniu Guilherme Costa Marques w meczu przeciwko Sportingowi Lizbona. Bramka ta zapewniła Legii zwycięstwo i trzecie miejsce w grupie.[7] Dla Prijovica był to ostatni występ w barwach stołecznego klubu.
W 2018 r., będąc zawodnikiem PAOK FC, wystąpił w 6 meczach fazy grupowej Ligi Europy, m.in przeciwko Chelsea F.C.
27 września 2023 r. rozwiązał kontrakt z Western United za porozumieniem stron. W trakcie dwóch sezonów spędzonych w zespole z przedmieść Melbourne strzelił 18 goli i zanotował siedem asyst w 43 spotkaniach. W rozgrywkach 2021/2022 wywalczył z nim mistrzostwo Australii, zdobywając cztery bramki w turnieju finałowym A-League. Zajmuje drugie miejsce w klasyfikacji najskuteczniejszych zawodników w historii klubu istniejącego od 2018 roku.[8] Ostatni występ dla Western United zaliczył 22 kwietnia 2023 r. przeciwko Melbourne City FC (1:3). W 58 minucie spotkania zmienił go Noah Botic(inne języki).
9 października 2017 r. w meczu eliminacjiMŚ 2018 przeciwko Gruzji zdobył bramkę zapewniającą Serbii awans na turniej finałowy po ośmiu latach przerwy.[10] 17 czerwca 2018 r. wystąpił w meczu fazy grupowej Mistrzostw Świata przeciwko reprezentacji Kostaryki.