갈루아 군

수학에서 갈루아 군(Galois群, 영어: Galois group)은 특정한 종류의 체의 확대에 대응되는 군이다. 갈루아 이론은 갈루아 군을 이용해 체의 확대 (및 이를 생성하는 다항식)을 연구하는 분야이다.

정의

체의 확대 ${\displaystyle L/K}$가 주어졌다고 하자. 이 경우, 체 ${\displaystyle L}$의 자기 동형 ${\displaystyle f\colon L\to L}$ 가운데 ${\displaystyle f(k)=k\forall k\in K}$인 것들은 함수의 합성에 대하여 군을 이루며, 이를 체의 확대 ${\displaystyle L/K}$의 자기 동형군 ${\displaystyle \operatorname {Aut} (L/K)}$라고 한다.

만약 ${\displaystyle L/K}$가 갈루아 확대일 경우, 그 자기 동형군을 갈루아 군 ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$이라고 한다.

체 ${\displaystyle K}$의 분해 가능 폐포 ${\displaystyle K^{\operatorname {sep} }}$의 자기 동형군 ${\displaystyle \operatorname {Gal} (K^{\operatorname {sep} }/K)}$을 절대 갈루아 군(영어: absolute Galois group) ${\displaystyle \operatorname {Gal} K}$이라고 한다. 절대 갈루아 군은 스펙트럼 ${\displaystyle \operatorname {Spec} K}$의 에탈 기본군과 표준적으로 동형이다.

${\displaystyle \operatorname {Gal} K\cong \pi _{1}^{\operatorname {{\acute {e}}t} }(\operatorname {Spec} K)}$

${\displaystyle K^{\operatorname {sep} }/K}$는 최대 갈루아 확대이므로, 모든 갈루아 군은 절대 갈루아 군의 부분군이다.

갈루아 군의 위상

갈루아 확대의 갈루아 군은 자연스럽게 사유한군의 구조를 가져 위상군이 된다. 구체적으로, 갈루아 확대 ${\displaystyle L/K}$에 대하여, 그 부분 확대들의 격자 ${\displaystyle \operatorname {Sub} (L/K)}$ 및 갈루아 부분 확대들의 격자

${\displaystyle \operatorname {Sub_{Gal}} (L/K)\subset \operatorname {Sub} (L/K)}$

를 정의하자. 그렇다면, 갈루아 군 ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$은 다음과 같이 유한군들의 역극한으로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)=\varprojlim _{M\in \operatorname {Sub_{Gal}} (L/K)}^{[M:K]<\aleph _{0}}\operatorname {Gal} (M/K)}$

이와 같이 유한군의 역극한으로 나타내어지는 위상군을 사유한군이라고 하며, 갈루아 군의 사유한 위상을 크룰 위상(영어: Krull topology)이라고 한다.

성질

갈루아 이론의 기본 정리(영어: fundamental theorem of Galois theory)에 따라, 다음과 같은 표준적인 전단사 대응이 존재한다.

체론	군론
${\displaystyle K^{\operatorname {sep} }/K}$의 부분 확대 ${\displaystyle L/K}$	절대 갈루아 군의 닫힌 부분군 ${\displaystyle \operatorname {Gal} (K^{\operatorname {sep} }/L)\leq \operatorname {Gal} K}$
${\displaystyle K^{\operatorname {sep} }/K}$의 유한 부분 확대 ${\displaystyle L/K}$	절대 갈루아 군의 열린닫힌 부분군 ${\displaystyle \operatorname {Gal} (K^{\operatorname {sep} }/L)\leq \operatorname {Gal} K}$
유한 확대 ${\displaystyle L/K}$에서, ${\displaystyle K}$를 고정시키는 매장 ${\displaystyle L\hookrightarrow K^{\operatorname {sep} }}$	${\displaystyle \operatorname {Gal} (K^{\operatorname {sep} }/L)\leq \operatorname {Gal} K}$의 (왼쪽) 잉여류
갈루아 확대 ${\displaystyle L/K}$	절대 갈루아 군의 닫힌 정규 부분군 ${\displaystyle \operatorname {Gal} (K^{\operatorname {sep} }/L)\vartriangleleft \operatorname {Gal} K}$
${\displaystyle K^{\operatorname {sep} }/K}$의 부분 확대 ${\displaystyle L/K}$의 켤레 확대(영어: conjugate extension) ${\displaystyle \sigma (L)/K}$	${\displaystyle \operatorname {Gal} (K^{\operatorname {sep} }/L)}$의 켤레 부분군 ${\displaystyle \operatorname {Gal} (K^{\operatorname {sep} }/\sigma (L))=\sigma \operatorname {Gal} (K^{\operatorname {sep} }/L)\sigma ^{-1}}$

이는 절대 갈루아 군 대신 (상대) 갈루아 군에 대해서도 마찬가지로 성립한다.

갈루아 코호몰로지

갈루아 군의 군 코호몰로지는 여러 흥미로운 정보들을 담고 있다. 이는 또한 ${\displaystyle K}$의 스펙트럼 ${\displaystyle \operatorname {Spec} K}$의 에탈 코호몰로지와 같다.

체의 확대 ${\displaystyle L/K}$가 주어졌을 때, 자기 동형군 ${\displaystyle \operatorname {Aut} (L/K)}$는 정의에 따라 ${\displaystyle L}$ 위에 자연스럽게 작용하며, ${\displaystyle (L,+)}$은 군환 ${\displaystyle \mathbb {Z} [\operatorname {Aut} (L/K)]}$ 위의 가군을 이룬다.

${\displaystyle (n_{1}g_{1}+n_{2}g_{2}+\cdots +n_{k}g_{k})\cdot a=n_{1}g_{1}(a)+n_{2}g_{2}(a)+\cdots +n_{k}g_{k}(a)\qquad \forall g_{1},\dots ,g_{k}\in \operatorname {Aut} (L/K),\;n_{1},\dots ,n_{k}\in \mathbb {Z} }$

가법 힐베르트 90번 정리(加法Hilbert九十番定理, 영어: additive Hilbert’s theorem 90)에 따르면, 유한 갈루아 확대 ${\displaystyle L/K}$에 대하여, ${\displaystyle L}$ 계수의 고차 군 코호몰로지는 자명군이다.

${\displaystyle \operatorname {H} ^{n}(\operatorname {Gal} (L/K);L)={\begin{cases}K&n=0\\0&n>0\end{cases}}}$

(이는 정규 기저 정리(영어: normal basis theorem)로부터 증명할 수 있다.)

체의 확대 ${\displaystyle L/K}$가 주어졌을 때, 자기 동형군 ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$는 가역원군 ${\displaystyle L^{\times }}$ 위에 자연스럽게 작용하며, ${\displaystyle L^{\times }}$는 군환 ${\displaystyle \mathbb {Z} [\operatorname {Gal} (L/K)]}$ 위의 가군을 이룬다.

${\displaystyle (n_{1}g_{1}+n_{2}g_{2}+\cdots +n_{k}g_{k})\cdot a=(g_{1}(a))^{n_{1}}(g_{2}(a))^{n_{1}}\cdots (g_{k}(a))^{n_{k}}\qquad \forall g_{1},\dots ,g_{k}\in \operatorname {Gal} (L/K),\;n_{1},\dots ,n_{k}\in \mathbb {Z} }$

승법 힐베르트 90번 정리(乘法Hilbert九十番定理, 영어: multiplicative Hilbert’s theorem 90)에 따르면, 유한 확대 ${\displaystyle L/K}$의 자기 동형군 ${\displaystyle \operatorname {Aut} (L/K)}$가 유한군이라면, ${\displaystyle L^{\times }}$ 계수의 1차 군 코호몰로지는 자명군이다.

${\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(\operatorname {Gal} (L/K);L^{\times })=0}$

(이 경우 ${\displaystyle L/K}$가 갈루아 확대라고 가정할 필요가 없다.)

예

• 임의의 체 ${\displaystyle K}$에 대하여, ${\displaystyle \operatorname {Gal} (K/K)}$는 자명군이다.
• ${\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} )}$은 두 개의 원소를 가지며, 이는 항등 함수와 ${\displaystyle a+b{\sqrt {2}}\mapsto a-b{\sqrt {2}}}$이다.

모든 사유한군은 어떤 갈루아 확대의 갈루아 군으로 나타낼 수 있다.

3차 다항식

임의의 체 ${\displaystyle K}$ 및 3차 기약 다항식 ${\displaystyle f\in K[x]}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2,3}$이라면, ${\displaystyle f}$의 분해체는 ${\displaystyle K}$의 갈루아 확대이며, 그 갈루아 군은 다음과 같다.^{[1]:270, Example 2}

${\displaystyle \operatorname {Gal} (f)\cong {\begin{cases}\operatorname {Cyc} (3)&{\sqrt {\operatorname {disc} (f)}}\in \mathbb {Q} \\\operatorname {Sym} (3)&{\sqrt {\operatorname {disc} (f)}}\not \in \mathbb {Q} \end{cases}}}$

여기서 ${\displaystyle \operatorname {disc} (f)}$는 ${\displaystyle f}$의 판별식이다.

절대 갈루아 군의 예

• 대수적으로 닫힌 체 ${\displaystyle K}$의 절대 갈루아 군 ${\displaystyle \operatorname {Gal} (K/K)}$은 자명군이다.
• 실수체의 절대 갈루아 군 ${\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {C} /\mathbb {R} )}$는 두 개의 원소를 갖는다. 그 둘은 항등 함수와 복소 공액 사상 ${\displaystyle z\mapsto {\bar {z}}}$이다. (실수체는 완전체이므로, 그 분해 가능 폐포는 대수적 폐포와 같다.)
• 유리수체의 절대 갈루아 군 ${\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {C} /\mathbb {Q} )}$는 무한군이다. 유리수체의 절대 갈루아 군의 직접적인 묘사는 알려져 있지 않다. 다만, 벨리의 정리(영어: Belyi’s theorem)에 따르면 유리수체의 절대 갈루아 군은 데생당팡의 집합 위에 자연스러운 충실한 작용을 갖는다.

아르틴-슈라이어 정리(영어: Artin–Schreier theorem)에 따르면, 절대 갈루아 군 가운데 유한군인 것은 자명군과 2차 순환군 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$밖에 없다. 즉, 모든 절대 갈루아 군은 위 세 가지의 예와 비슷하다.

같이 보기

• 절대 갈루아 군
• 갈루아 이론
• 갈루아 모듈
• 가해군

외부 링크

• “Galois group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Galois topological group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Galois cohomology”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Galois group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Fundamental theorem of Galois theory”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Galois group”. 《nLab》 (영어). 
• “Absolute Galois group”. 《nLab》 (영어). 
• “Galois cohomology”. 《nLab》 (영어). 

1. Lang, Serge (2002). 《Algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 211 개정 3판. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4613-0041-0. ISBN 978-1-4612-6551-1. ISSN 0072-5285. MR 1878556. Zbl 0984.00001.