판별식

이 문서는 다항 방정식의 판별식에 관한 것입니다. 대수적 수체의 판별식에 대해서는 수체의 판별식 문서를 참고하십시오.

수학에서 판별식(判別式, 영어: discriminant)은 다항식이 중복된 근을 갖는지 여부를 나타내는 값이다.

정의

대수적으로 닫힌 체 ${\displaystyle K}$ 계수의 0이 아닌 다항식

${\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n}=a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})\cdots (x-x_{n})\in K[x]}$

${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\in K}$

${\displaystyle a_{n}\neq 0}$

${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\in K}$

의 판별식은 다음과 같다.^[1]:204

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {disc} (f)&=a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}(x_{i}-x_{j})^{2}\\&=(-1)^{n(n-1)/2}a_{n}^{2n-2}\prod _{i\neq j}(x_{i}-x_{j})\\&=(-1)^{n(n-1)/2}a_{n}^{-1}\operatorname {res} (f,f')\\&=(-1)^{n(n-1)/2}a_{n}^{-1}{\begin{vmatrix}a_{n}&a_{n-1}&\cdots &a_{1}&a_{0}\\&\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots \\&&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &a_{1}&a_{0}\\na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\cdots &a_{1}\\&\ddots &\ddots &\ddots &\ddots \\&&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\cdots &a_{1}\\&&&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\cdots &a_{1}\end{vmatrix}}\end{aligned}}}$

여기서

• ${\displaystyle (-)'}$는 형식적 미분이다.
• ${\displaystyle \operatorname {res} }$는 종결식이다.
• ${\displaystyle \left|-\right|}$는 행렬식이다.

성질

대수적으로 닫힌 체 ${\displaystyle K}$ 및 0이 아닌 ${\displaystyle f\in K[x]}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle f}$는 중복근을 갖는다.
• ${\displaystyle \operatorname {disc} (f)=0}$

체 ${\displaystyle K}$ 및 ${\displaystyle n}$차 분해 가능 기약 다항식 ${\displaystyle f\in K[x]}$에 대하여, 갈루아 군 ${\displaystyle \operatorname {Gal} (f)}$는 근의 집합 위에서 충실하게 작용하며, 이는 단사 군 준동형

${\displaystyle \operatorname {Gal} (f)\hookrightarrow \operatorname {Sym} (n)}$

을 정의한다. 만약 ${\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2}$라면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle \operatorname {Gal} (f)}$의 상은 ${\displaystyle \operatorname {Alt} (n)}$의 부분군이다.
• ${\displaystyle {\sqrt {\operatorname {disc} (f)}}\in K}$

예

2차 다항식

복소수 계수 2차 다항식

${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$

의 판별식은 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {disc} (f)=b^{2}-4ac}$

실수 계수 다항식의 경우, 판별식은 실수이며, 다음이 성립한다.

• 만약 ${\displaystyle b^{2}-4ac>0}$이라면, ${\displaystyle f(x)}$는 서로 다른 두 실근을 갖는다.
• 만약 ${\displaystyle b^{2}-4ac=0}$이라면, ${\displaystyle f(x)}$는 겹치는 두 실근을 갖는다.
• 만약 ${\displaystyle b^{2}-4ac<0}$이라면, ${\displaystyle f(x)}$는 서로 복소켤레인 (특히 서로 다른) 두 허근을 갖는다.

3차 다항식

복소수 계수 3차 다항식

${\displaystyle f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$

의 판별식은 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {disc} (f)=b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd}$

특히, 다항식

${\displaystyle f(x)=x^{3}+px+q}$

의 판별식은

${\displaystyle \operatorname {disc} (f)=-4p^{3}-27q^{2}}$

이다.

실수 계수의 경우, 다음이 성립한다.^[2]:633

• 만약 ${\displaystyle \operatorname {disc} (f)>0}$이라면, 서로 다른 세 실근을 갖는다. 이 경우, 실근들은 허수의 거듭제곱근을 사용하여 나타낼 수 있으며, 유리수 계수 기약 다항식의 경우 실수의 거듭제곱근만을 통해서는 나타낼 수 없다. 이를 환원 불능의 경우(라틴어: casus irreducibilis 카수스 이레두키빌리스^[*])라고 한다.
• 만약 ${\displaystyle \operatorname {disc} (f)=0}$이라면, 둘 이상이 겹치는 세 실근을 갖는다. 이 경우, 실근들은 항상 실수의 거듭제곱근을 사용하여 나타낼 수 있다.
• 만약 ${\displaystyle \operatorname {disc} (f)<0}$이라면, 하나의 실근과 서로 복소켤레인 두 허근을 갖는다.

유리수 계수 3차 기약 다항식의 경우, 그 분해체 ${\displaystyle K}$는 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$의 갈루아 확대를 이루며, 그 갈루아 군은 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {Gal} (K/\mathbb {Q} )\cong {\begin{cases}\operatorname {Sym} (3)&{\sqrt {\operatorname {disc} (f)}}\not \in \mathbb {Q} \\\operatorname {Alt} (3)&{\sqrt {\operatorname {disc} (f)}}\in \mathbb {Q} \end{cases}}}$

4차 다항식

복소수 계수 4차 다항식

${\displaystyle p(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e}$

의 판별식은

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {disc} (p)&=256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e\\&\qquad -27a^{2}d^{4}+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de\\&\qquad \qquad +18abcd^{3}+16ac^{4}e-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}\\&\qquad \qquad \qquad +18b^{3}cde-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}\end{aligned}}}$

이다.

참고 문헌

1. Lang, Serge (2002). 《Algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 211 개정 3판. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4613-0041-0. ISBN 978-1-4612-6551-1. ISSN 0072-5285. MR 1878556. Zbl 0984.00001. 
2. Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). 《Abstract algebra》 (영어) 3판. 치체스터: Wiley. ISBN 0-471-43334-9. MR 2286236. OCLC 248917264. Zbl 1037.00003. 

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Polynomial discriminant”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.