푸아송 다양체

미분기하학에서 푸아송 다양체(Poisson多樣體, 영어: Poisson manifold)는 푸아송 괄호를 정의할 수 있는 심플렉틱 다양체의 일반화이다.^[1][2][3] 심플렉틱 다양체와 달리 괄호가 일부 점에서 퇴화할 수 있다.

정의

푸아송 다양체의 개념은 여러 가지로 정의될 수 있지만, 이 정의들은 모두 서로 동치이다.

푸아송 괄호를 통한 정의

체 ${\displaystyle K}$ 위의 가환 결합 대수 ${\displaystyle A}$ 위의 푸아송 괄호(Poisson括弧, 영어: Poisson bracket)는 다음 조건을 만족시키는 ${\displaystyle K}$-리 대수 구조이다.

• 임의의 ${\displaystyle a\in A}$에 대하여, ${\displaystyle (A,\{a,-\})}$는 ${\displaystyle K}$-미분 대수이다. 즉, 다음 곱 규칙이 성립한다.

  ${\displaystyle \{a,bc\}=\{a,b\}c+b\{a,c\}\qquad \forall a,b,c\in A}$

푸아송 다양체는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$
• 실수 가환 결합 대수 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} )}$ 위의 푸아송 괄호 ${\displaystyle \{,\}}$

푸아송 다양체 ${\displaystyle (M,\{,\})}$ 위에서, 임의의 ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} )}$에 대하여 ${\displaystyle \{f,-\}}$는 ${\displaystyle M}$ 위의 벡터장을 이루며, 이러한 꼴의 벡터장을 해밀턴 벡터장이라고 한다. ${\displaystyle X=\{f,-\}}$라면 ${\displaystyle f}$를 ${\displaystyle X}$의 해밀토니언(영어: Hamiltonian)이라고 한다.

리 대수 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} )}$의 중심의 원소, 즉 모든 함수와의 푸아송 괄호가 0인 함수를 카시미르 함수라고 한다. (이는 0차 푸아송 코호몰로지에 해당한다.)

텐서장을 통한 정의

매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$ 위의 푸아송 텐서장(Poisson tensor場, 영어: Poisson tensor field) ${\displaystyle \pi }$는 다음 조건을 만족시키는 (2,0)차 텐서장이다.

• (반대칭성) ${\displaystyle \pi ^{ij}=\pi ^{ji}}$
• (멱영성) ${\displaystyle [\pi ,\pi ]=0}$. 여기서 ${\displaystyle [-,-]}$는 스하우턴-네이엔하위스 괄호이다.

구체적으로, 이 경우 푸아송 괄호는

${\displaystyle \{f,g\}=\pi (\mathrm {d} f,\mathrm {d} g)\qquad \forall f,g\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} )}$

의 꼴로 주어진다.

여기서, 스하우턴-네이엔하위스 괄호가 0이 되는 것은 야코비 항등식에 해당하며, 구체적으로 다음과 같다.

${\displaystyle \pi ^{[i|l}\partial _{l}\pi ^{|jk]}=0}$

여기서 ${\displaystyle [...]}$는 지표 ${\displaystyle i,j,k}$의 완전 반대칭화를 뜻한다. 즉,

${\displaystyle \pi ^{il}\partial _{l}\pi ^{jk}+\pi ^{jl}\partial _{l}\pi ^{ki}+\pi ^{kl}\partial _{l}\pi ^{ij}=0}$

이다.

리 준대수를 통한 정의

푸아송 다양체는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$
• ${\displaystyle \mathrm {T} ^{*}M}$ 위의 리 준대수 구조 ${\displaystyle \sharp \colon \mathrm {T} ^{*}M\to \mathrm {T} M}$. 이 경우, 리 괄호는 다음과 같다.

  ${\displaystyle [\alpha ,\beta ]={\mathcal {L}}_{\sharp \alpha }\beta -{\mathcal {L}}_{\sharp \beta }\alpha -\mathrm {d} \langle \sharp \alpha ,\beta \rangle \in \Omega ^{1}(M)\qquad \forall \alpha ,\beta \in \Omega ^{1}(M)}$

여기서 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$은 1차 미분 형식의 리 미분이다.

이 정의에서의 ${\displaystyle \sharp }$는 음악 동형을 통해 푸아송 텐서장 ${\displaystyle \pi }$와 같은 데이터를 정의한다.

${\displaystyle \sharp \colon \mathrm {T} ^{*}M\to \mathrm {T} M}$

${\displaystyle \sharp \colon \alpha \mapsto \pi (\alpha ,-)}$

이는 리만 다양체나 심플렉틱 다양체의 음악 동형과 유사하지만, 한 방향으로만 가며, 일반적으로 벡터 다발의 동형 사상이 아니다. (즉, ${\displaystyle \flat \colon \mathrm {T} M\to \mathrm {T} ^{*}M}$ 사상이 표준적으로 존재하지 않는다.)

푸아송 사상

두 푸아송 다양체 ${\displaystyle (M,\{,\}_{M})}$, ${\displaystyle (N,\{,\}_{N})}$ 사이의 푸아송 사상(Poisson寫像, 영어: Poisson map) ${\displaystyle \phi \colon M\to N}$은 매끄러운 함수 가운데, 다음 조건을 만족시키는 것이다.

${\displaystyle \{f,g\}_{N}\circ \phi =\{f\circ \phi ,g\circ \phi \}_{M}\qquad \forall f,g\in {\mathcal {C}}^{\infty }(N,\mathbb {R} )}$

푸아송 텐서장으로는

${\displaystyle \pi _{N}\circ \phi =\phi _{*}\pi _{M}\in \Gamma ^{\infty }\left(\bigwedge ^{2}\phi ^{*}\mathrm {T} N\right)}$

이어야 한다. 여기서 ${\displaystyle \phi _{*}}$는 (2,0)차 텐서장의 밂이다.

푸아송 다양체와 푸아송 사상의 범주를 ${\displaystyle \operatorname {PoissDiff} }$라고 표기하자.

푸아송 사상 가운데 미분 동형 사상을 이루는 것을 푸아송 미분 동형 사상(Poisson微分同形寫像, 영어: Poisson diffeomorphism, ichthyomorphism)이라고 한다. 이는 ${\displaystyle \operatorname {PoissDiff} }$의 동형 사상이다.

성질

푸아송 다양체 ${\displaystyle M}$의 부분 다양체 (즉, 매끄러운 단사 몰입) ${\displaystyle \iota \colon C\hookrightarrow M}$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 다양체를 푸아송 부분 다양체(영어: Poisson submanifold)라고 한다.

• ${\displaystyle \iota }$를 푸아송 사상으로 만드는 ${\displaystyle C}$ 위의 푸아송 구조가 하나 이상 존재한다.
• ${\displaystyle \iota }$를 푸아송 사상으로 만드는 ${\displaystyle C}$ 위의 푸아송 구조가 유일하게 존재한다.
• 임의의 ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle f\upharpoonright C=0}$이라면, ${\displaystyle \{f,g\}\upharpoonright C=0}$이다. (즉, ${\displaystyle \{f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )\colon f\upharpoonright C=0\}}$는 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )}$의 리 대수 아이디얼을 이룬다.)

푸아송 다양체 ${\displaystyle M}$의 모든 열린집합은 푸아송 다양체이다. 푸아송 다양체의 닫힌집합이 푸아송 다양체가 될 필요 충분 조건은 심플렉틱 잎들의 합집합인 것이다.

심플렉틱 다양체의 푸아송 부분 다양체는 열린집합 밖에 없다.

공등방성 부분 다양체

매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$의 부분 다양체 ${\displaystyle C\hookrightarrow M}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle C}$의 쌍대 법다발(영어: conormal bundle)은 다음과 같다.

${\displaystyle \mathrm {N} ^{*}C=\{\alpha \in \mathrm {T} ^{*}M\colon \langle \alpha ,v\rangle =0\;\forall v\in \mathrm {T} C\}\subseteq \mathrm {T} ^{*}M}$

이제, ${\displaystyle (M,\pi )}$이 푸아송 다양체의 구조를 지녔다고 하자. 그렇다면, 부분 다양체에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 다양체를 공등방성 부분 다양체(共等方性部分多樣體, 영어: coisotropic submanifold)라고 한다.

• ${\displaystyle \sharp (\mathrm {N} ^{*}C)\subseteq \mathrm {T} C}$
• 임의의 ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle f\upharpoonright C=g\upharpoonright C=0}$이라면, ${\displaystyle \{f,g\}\upharpoonright C=0}$이다. (다시 말해서, ${\displaystyle \{f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )\colon f\upharpoonright C=0\}}$는 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )\}}$의 부분 리 대수이다.)

정의에 따라서 (즉, 모든 리 대수 아이디얼이 부분 리 대수이므로), 모든 푸아송 부분 다양체는 공등방성 부분 다양체이지만, 그 역은 일반적으로 거짓이다.

푸아송 사상

세 푸아송 다양체 ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle N}$, ${\displaystyle P}$ 사이의 매끄러운 함수 ${\displaystyle f\colon M\to N}$, ${\displaystyle g\colon N\to P}$가 주어졌다고 하자.

• 만약 ${\displaystyle f}$와 ${\displaystyle g}$가 푸아송 사상이라면 ${\displaystyle g\circ f}$ 또한 푸아송 사상이다.
• 만약 ${\displaystyle f}$가 전사 함수인 푸아송 사상이며 ${\displaystyle g\circ f}$도 푸아송 사상이라면, ${\displaystyle g}$ 역시 푸아송 사상이다.

특히, 미분 동형인 푸아송 사상의 역함수는 푸아송 사상이다.

유한 차원 실수 리 대수 사이의 리 대수 준동형 ${\displaystyle \phi \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}}$이 주어졌을 때,

${\displaystyle \phi ^{\vee }\colon {\mathfrak {h}}^{\vee }\to {\mathfrak {g}}^{\vee }}$

는 푸아송 사상이다. 여기서 ${\displaystyle (-)^{\vee }}$는 쌍대 공간이며, 리 대수의 쌍대 공간은 선형 푸아송 다양체로 간주한다.

연산

곱공간

임의의 두 푸아송 다양체 ${\displaystyle (M,\pi _{M})}$, ${\displaystyle (N,\pi _{N})}$에 대하여, 곱공간 ${\displaystyle M\times N}$ 위에 다음과 같은 푸아송 구조를 줄 수 있다.

${\displaystyle \pi ((u,v),(u',v))=\pi _{M}(u,u')+\pi _{N}(v,v')\qquad \forall (x,y)\in M\times N,\;(u,v),(u',v')\in \mathrm {T} _{(x,y)}M\times N=\mathrm {T} _{x}M\oplus \mathrm {T} _{y}N}$

이는 푸아송 다양체의 범주의 곱이다. 특히, 사영 사상

${\displaystyle \operatorname {proj} _{1}\colon M\times N\to M}$

${\displaystyle \operatorname {proj} _{2}\colon M\times N\to N}$

역시 푸아송 사상을 이룬다.

분리합집합

임의의 푸아송 다양체들의 집합 ${\displaystyle (M_{i})_{i\in I}}$에 대하여, 분리합집합 ${\displaystyle \textstyle \bigsqcup _{i\in I}}$ 위에는 표준직언 푸아송 구조가 존재한다. 이는 푸아송 다양체의 범주의 쌍대곱이다.

시작 대상과 끝 대상

푸아송 다양체의 범주의 시작 대상은 공집합 ${\displaystyle \varnothing }$이며, 푸아송 다양체의 범주의 끝 대상은 한원소 공간 ${\displaystyle \{\bullet \}}$이다. 즉, 임의의 푸아송 다양체 ${\displaystyle M}$에 대하여 유일한 두 함수

${\displaystyle \varnothing \to M}$

${\displaystyle M\to \{\bullet \}}$

는 각각 푸아송 사상을 이룬다.

망각 함자

푸아송 다양체와 푸아송 사상의 범주는 매끄러운 다양체와 매끄러운 함수의 범주로 가는 망각 함자를 갖는다.

${\displaystyle \operatorname {PoissDiff} \to \operatorname {Diff} }$

반대로, 매끄러운 다양체에 값이 0인 상수 함수 푸아송 괄호를 부여하는 다음과 같은 포함 함자 역시 존재한다.

${\displaystyle \operatorname {Diff} \hookrightarrow \operatorname {PoissDiff} }$

${\displaystyle M\mapsto (M,0)}$

그러나 이는 망각 함자와 수반 함자 관계를 갖지 않는다.

모든 심플렉틱 다양체는 푸아송 다양체로 간주될 수 있지만, 심플렉틱 다양체와 심플렉틱 사상의 범주 ${\displaystyle \operatorname {SympDiff} }$에서 푸아송 다양체의 범주로 가는 망각 함자는 존재하지 않는다. 예를 들어, 두 유클리드 공간 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$에 표준적인 심플렉틱 형식을 부여했을 때, 심플렉틱 사상 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{4}}$은 무한히 많이 존재하지만, 푸아송 사상 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{4}}$는 존재하지 않는다. 이는 심플렉틱 사상은 (0,2)차 텐서의 당김으로 정의되지만, 푸아송 사상은 (2,0)차 텐서의 밂으로 정의되기 때문이다.

분류

심플렉틱 다양체의 침몰로의 표현

푸아송 다양체 ${\displaystyle M}$의 심플렉틱 실현(symplectic實現, 영어: symplectic realization)은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 심플렉틱 다양체 ${\displaystyle N}$
• 전사 함수이자 침몰인 푸아송 사상 ${\displaystyle \phi \colon N\to M}$

모든 푸아송 다양체는 하나 이상의 심플렉틱 실현을 갖는다.^[4][5][6]

심플렉틱 잎

푸아송 다양체 ${\displaystyle M}$ 위에 다음과 같은 동치 관계를 정의하자. 만약 두 점 ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ 사이에 다음 조건을 만족시키는 조각별 매끄러운 곡선 ${\displaystyle \gamma \colon [a_{0},a_{N}]\to M}$이 존재한다면, ${\displaystyle x\sim y}$라고 하자.

• ${\displaystyle \gamma (a_{0})=x}$
• ${\displaystyle \gamma (a_{N})=y}$
• ${\displaystyle \gamma }$의 각 매끄러운 조각은 해밀턴 벡터장의 궤적이다. 즉, 각 매끄러운 조각 ${\displaystyle \gamma _{i}\colon [a_{i},a_{i+1}]\to M}$에 대하여, ${\displaystyle {\dot {\gamma }}_{i}(t)=\{h_{i}(\gamma _{i}(t)),-\}\in \mathrm {T} _{\gamma _{i}(t)}M}$이 되는 매끄러운 함수 ${\displaystyle h_{i}\colon M\to \mathbb {R} }$가 존재한다.

그렇다면, 다음이 성립한다.^{[6]:528, Proposition 1.3}

• ${\displaystyle \sim }$은 동치 관계를 이룬다.
• ${\displaystyle \sim }$의 각 동치류는 ${\displaystyle M}$의 부분 매끄러운 다양체를 이루며, 이는 연결 공간이다.
• 푸아송 구조 ${\displaystyle \pi }$를 ${\displaystyle \sim }$의 동치류 ${\displaystyle \iota _{i}\colon M_{i}\hookrightarrow M}$에 제한하여 얻어지는 푸아송 다양체는 사실 심플렉틱 다양체를 이룬다. 이를 ${\displaystyle M}$의 심플렉틱 잎(영어: symplectic leaf)이라고 한다.
• 심플렉틱 잎 ${\displaystyle M_{i}}$의 임의의 점 ${\displaystyle x\in M_{i}}$에 대하여, ${\displaystyle \operatorname {rank} \pi |_{x}=\dim M_{i}}$이다. 특히, ${\displaystyle \operatorname {rank} \pi }$는 각 심플렉틱 잎 위에서 상수 함수이다.

다시 말해, 푸아송 다양체를 서로 다른 차원일 수 있는 심플렉틱 다양체들을 짜깁기하여 얻는 공간으로 여길 수 있다. 심플렉틱 잎의 포함 사상은 항상 푸아송 사상이다.

국소 구조

${\displaystyle n}$차원 푸아송 다양체 ${\displaystyle M}$의 임의의 점 ${\displaystyle x_{0}\in M}$이 주어졌을 때, ${\displaystyle x}$의 충분히 작은 근방에 다음과 같은 국소 좌표계

${\displaystyle (q_{1},q_{2},\dotsc ,q_{r},p_{1},p_{2},\dotsc ,p_{r},c_{1},\dotsc ,c_{n-2r})}$

를 항상 찾을 수 있다.^{[6]:Theorem 2.1}

${\displaystyle \{q_{i},q_{j}\}=\{p_{i},p_{j}\}=\{q_{i},c_{k}\}=\{p_{i},c_{k}\}=0}$

${\displaystyle \{q_{i},p_{j}\}=\delta _{ij}}$

${\displaystyle \{c_{k},c_{l}\}(x_{0})=0}$

즉, 이는 국소적으로 어떤 ${\displaystyle 2r}$차원 심플렉틱 다양체 ${\displaystyle S}$와 푸아송 다양체 ${\displaystyle N}$의 곱공간으로 표현되며, 이 경우 ${\displaystyle N}$의 푸아송 구조는 ${\displaystyle x_{0}}$(의 상)에서 계수가 0이다. 또한, 이러한 ${\displaystyle (S,N)}$은 국소 동형 아래 유일하다. (물론, 심플렉틱 다양체인 ${\displaystyle S}$는 다르부 정리에 의하여 국소적으로 자명하다.) (다만 이러한 부분 다양체 ${\displaystyle N}$는 표준적으로 주어지지 않는다.) 즉, 푸아송 다양체의 국소적 구조의 연구는 국소 계수 0의 푸아송 다양체의 연구로 귀결된다.

푸아송 다양체 ${\displaystyle N}$의 점 ${\displaystyle x_{0}\in N}$에서, 푸아송 구조의 계수가 0이라고 하자. 그렇다면, 리 대수

${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(N;\mathbb {R} )}$

의 부분 리 대수

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0,x_{0}}^{\infty }(N;\mathbb {R} )=\{f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(N;\mathbb {R} )\colon f(x_{0})=0\}}$

의 다음과 같은 리 대수 아이디얼을 생각할 수 있다.

${\displaystyle {\mathfrak {m}}=\{f\in {\mathcal {C}}_{0,x_{0}}^{\infty }(N;\mathbb {R} )\colon \partial _{i}\partial _{j}f(x_{0})=0\}}$

이에 따라, 공변접공간

${\displaystyle \mathrm {T} _{x_{0}}^{*}N={\frac {{\mathcal {C}}_{0,x_{0}}^{\infty }(N;\mathbb {R} )}{\mathfrak {m}}}}$

위에 리 대수 구조가 주어진다. 이에 따라, 접공간 ${\displaystyle \mathrm {T} _{x_{0}}N}$ 위에는 자연스럽게 리-푸아송 구조가 존재한다. 이를 ${\displaystyle N}$의 ${\displaystyle x_{0}\in N}$에서의 선형 근사(線型近似, 영어: linear approximation)라고 한다.^{[6]:535–536, §4} 이는 대략 ${\displaystyle x_{0}}$ 근처에서, 푸아송 괄호의 2차 이상 항들을 버린 것으로 여길 수 있다.

예

자명한 푸아송 다양체

임의의 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$ 위의 매끄러운 함수 공간에 아벨 리 대수의 구조를 주면 (${\displaystyle \{f,g\}=0}$), 이는 푸아송 구조를 이룬다. 이는 자명한 푸아송 텐서장 ${\displaystyle \pi =0}$에 해당한다. 리 준대수로서, 이는 아벨 리 준대수(즉, 리 괄호가 모두 0인 것)에 해당한다.

이 경우, 심플렉틱 잎들은 한원소 공간들이다.

2차원 이하 푸아송 다양체

매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$의 차원이 2 이하라고 하자. 이 경우, ${\displaystyle M}$ 위의 임의의 반대칭 (2,0)차 텐서는 푸아송 구조를 이룬다.

1차원 이하의 경우 반대칭 (2,0)차 텐서는 0 밖에 없으며, 이 경우 각 점이 0차원 심플렉틱 잎을 이룬다.

2차원 푸아송 다양체 ${\displaystyle (M,\pi )}$의 심플렉틱 잎들은 다음과 같다.

• 2차원 잎들은 ${\displaystyle \{x\in M\colon \pi _{x}\neq 0\}}$의 연결 성분이다. 이들은 2차원 심플렉틱 다양체를 이룬다.
• 0차원 잎들은 ${\displaystyle \{x\in M\colon \pi _{x}=0\}}$의 점들이다.

심플렉틱 다양체

심플렉틱 다양체 ${\displaystyle (M,\omega )}$가 주어졌을 때, 푸아송 괄호

${\displaystyle \{f,g\}=\omega ^{-1}(\mathrm {d} f,\mathrm {d} g)}$

를 정의하면, 이는 푸아송 다양체를 이룬다.

이 경우, 심플렉틱 잎들은 ${\displaystyle M}$의 연결 성분들이다.

선형 푸아송 다양체

유클리드 공간 ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}$ 및 ${\displaystyle V^{*}}$ 위의 임의의 반대칭 쌍선형 형식 ${\displaystyle \pi (-,-)}$을 고르자. 그렇다면, 모든 점 ${\displaystyle x\in V}$에서 ${\displaystyle \mathrm {T} _{x}V=V}$이므로, ${\displaystyle (V,\pi )}$는 푸아송 다양체를 이룬다.

실수 선형 변환 ${\displaystyle \pi ^{\#}\colon V^{*}\to V}$의 계수가 ${\displaystyle 2r}$라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle V}$의 적절한 기저

${\displaystyle (x_{1},\dotsc ,x_{n})\subseteq V}$

및 그 쌍대 기저

${\displaystyle (x^{1},\dotsc ,x^{n})\subseteq V^{*}}$

에 대하여,

${\displaystyle \pi \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}x^{i},\sum _{j=1}^{n}b_{j}x^{j}\right)=\sum _{i=1}^{r}(a_{2i-1}b_{2i}-a_{2i}b_{2i-1})}$

가 되게 할 수 있다. 이 경우, ${\displaystyle x_{2r+1},\dotsc ,x_{n}}$에만 의존하는 임의의 함수는 카시미르 함수를 이룬다. 심플렉틱 잎들은 각

${\displaystyle c\in \operatorname {Span} \{x_{2r+1},\dotsc ,x_{n}\}}$

에 대하여

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2r}\times \{c\}}$

의 꼴이다. 특히, 만약 ${\displaystyle n=2r}$일 경우 이는 심플렉틱 벡터 공간을 이룬다.

리 대수의 쌍대 공간

 이 부분의 본문은 리-푸아송 구조입니다.

유한 차원 실수 리 대수 ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},[,])}$의 쌍대 공간 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ 위에 다음과 같은 푸아송 괄호를 정의하자. 임의의 ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {C}}^{\infty }({\mathfrak {g}}^{*};\mathbb {R} )}$ 및 ${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}^{*}}$에 대하여,

${\displaystyle \{f,g\}(x)=x([\mathrm {d} f(x),\mathrm {d} g(x)])}$

여기서

${\displaystyle \mathrm {d} f(x),\mathrm {d} g(x)\in \mathrm {T} _{x}^{*}{\mathfrak {g}}^{*}\cong {\mathfrak {g}}}$

이므로, 우변에 리 괄호를 사용할 수 있다. 이러한 푸아송 괄호를 리-푸아송 구조(영어: Lie–Poisson structure)라고 한다.

리 지수 사상에 따라 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {lie}}(G)}$가 되는 단일 연결 리 군 ${\displaystyle G}$를 정의하자. 그렇다면, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$는 물론 리 군 ${\displaystyle G}$의 표현을 이룬다. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$의 심플렉틱 잎들은 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ 속의, ${\displaystyle G}$에 대한 궤도에 해당한다. 이를 쌍대딸림표현 궤도(영어: coadjoint orbit)라고 한다.

예를 들어, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {o}}(3)}$(3차원 직교군의 리 대수)라고 하자. 이는 3차원 벡터 공간이다. (${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$가 반단순 리 대수이므로, 킬링 형식 ${\displaystyle B(-,-)}$에 의하여 딸림표현과 그 쌍대 표현 사이에 표준적인 동형이 존재한다.) 이 위에서 SO(3)의 궤도는 다음과 같은 꼴이다.

${\displaystyle \mathbb {S} _{r}^{2}=\{v\in {\mathfrak {g}}\colon |B(v,v)|=r^{2}\}\qquad (r\in [0,\infty ))}$

즉, 이는 음이 아닌 실수 반지름 ${\displaystyle r}$의 구이다. ${\displaystyle r>0}$일 때 이는 2차원의 심플렉틱 잎을 이루며, ${\displaystyle r=0}$일 때 이는 0차원의 심플렉틱 잎을 이룬다.

리 대수의 족

실수 ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$에 의존하는, 다음과 같은 실수 리 대수의 족을 생각하자.^{[6]:550–551, §11.A}

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{t}=\operatorname {Span} _{\mathbb {R} }\{x,y,z\}}$

${\displaystyle [x,y]=tz}$

${\displaystyle [y,z]=x}$

${\displaystyle [z,x]=y}$

만약 ${\displaystyle t>0}$일 때, 이는 ${\displaystyle (x,y,z)}$의 재정의를 통해 3차원 회전군의 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {o}}(3)}$를 이룬다. 만약 ${\displaystyle t<0}$일 때, 이는 마찬가지로 3차원 로런츠 군의 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {o}}(1,2)={\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )}$와 동형이다. ${\displaystyle t=0}$일 때, 이는 유클리드 평면의 등거리 변환군의 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {io}}(2)}$와 같다.

이 족을 다음과 같이 푸아송 다양체로 여길 수 있다. 4차원 유클리드 공간

${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}=\operatorname {Span} \{x,y,z,t\}}$

위에 다음과 같은 푸아송 괄호를 주자.

${\displaystyle \{x,y\}=tz}$

${\displaystyle \{y,z\}=x}$

${\displaystyle \{z,x\}=y}$

${\displaystyle \{t,x\}=\{t,y\}=\{t,z\}=0}$

그렇다면, 이는 푸아송 구조를 이룬다.

이 위에는 다음과 같은 두 카시미르 함수가 존재한다.

${\displaystyle t}$

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+tz^{2}}$

이 푸아송 다양체의 심플렉틱 잎들은 두 함수의 값의 원상으로 정의된다. 즉,

${\displaystyle M_{t,r}=\{(x,y,z,t)\in \mathbb {R} ^{4}\colon x^{2}+y^{2}+tz^{2}=r\}}$

의 꼴이다. (다만 일부 경우 이는 연결 성분 또는 특이점으로 인해 추가로 분해될 수 있다.) 구체적으로 이들은 다음과 같다.

카시미르 함수의 값	추가 조건	차원	설명	미분 동형인 다양체
${\displaystyle t\neq 0}$, ${\displaystyle r=0}$	${\displaystyle z=0}$	0	한원소 공간 ${\displaystyle \{(0,0,0,t)\}}$	한원소 공간 ${\displaystyle \{\bullet \}}$
${\displaystyle t=0}$, ${\displaystyle r=0}$		0	한원소 공간 ${\displaystyle \{(0,0,z,0)\}}$
${\displaystyle t>0}$, ${\displaystyle r>0}$		2	타원면	구 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$
${\displaystyle t<0}$, ${\displaystyle r<0}$	${\displaystyle z>0}$	2	쌍곡면	평면 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$
${\displaystyle t<0}$, ${\displaystyle r<0}$	${\displaystyle z<0}$	2	쌍곡면
${\displaystyle t<0}$, ${\displaystyle r>0}$		2	쌍곡면	원기둥 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {R} }$
${\displaystyle t<0}$, ${\displaystyle r=0}$	${\displaystyle z>0}$	2	(꼭짓점이 없는) 원뿔 (3차원 민코프스키 공간의 미래 빛원뿔)
${\displaystyle t<0}$, ${\displaystyle r=0}$	${\displaystyle z<0}$	2	(꼭짓점이 없는) 원뿔 (3차원 민코프스키 공간의 과거 빛원뿔)
${\displaystyle t=0}$, ${\displaystyle r>0}$		2	${\displaystyle z}$축에 대한 반지름 ${\displaystyle r}$의 원기둥

국소 선형 모형

다음이 주어졌다고 하자.

• 심플렉틱 다양체 ${\displaystyle (M,\omega )}$
• 매끄러운 주다발 ${\displaystyle G\hookrightarrow P\,{\overset {\pi }{\twoheadrightarrow }}\,M}$
• ${\displaystyle P}$의 주접속 ${\displaystyle \theta \in \Omega ^{1}(P;{\mathfrak {g}})}$

그렇다면,

${\displaystyle {\tilde {\theta }}\in \Omega ^{1}(P\times {\mathfrak {g}}^{*})}$

${\displaystyle {\tilde {\theta }}_{(p,\alpha )}=\langle \alpha ,\theta \rangle }$

를 정의할 수 있다. 주접속의 정의에 따라, 이는 ${\displaystyle G}$의 ${\displaystyle P\times {\mathfrak {g}}^{*}}$ 위의 오른쪽 군 작용에 대하여 불변이다. 따라서, 사영 사상

${\displaystyle (\pi ,0)\colon P\times {\mathfrak {g}}^{*}\twoheadrightarrow M}$

에 대한 당김을 통하여

${\displaystyle {\tilde {\omega }}=(\pi ,0)^{*}\omega -\mathrm {d} {\tilde {\theta }}\in \Omega ^{2}(P\times {\mathfrak {g}}^{*})}$

를 정의할 수 있다. 이는 ${\displaystyle G}$-불변인 닫힌 2차 미분 형식이며, 또한 ${\displaystyle P\times \{0\}}$의 어떤 ${\displaystyle G}$-불변 근방

${\displaystyle M\times \{0\}\subseteq U\subseteq M\times {\mathfrak {g}}^{*}}$

${\displaystyle U\cdot G=U}$

에서 비퇴화 이차 형식을 정의한다. 즉, 이는 ${\displaystyle U}$ 위의 ${\displaystyle G}$-불변 심플렉틱 다양체 구조를 정의한다. 따라서, 몫공간 ${\displaystyle U/G}$ 위에는 푸아송 다양체 구조 ${\displaystyle {\tilde {\omega }}/G}$가 존재한다. 이 구성은 주접속에 의존하지만, 서로 다른 주접속을 사용해도 서로 동형인 푸아송 구조들을 얻는다.^{[7]:Remark 5.17} (그러나 이 동형은 일반적으로 표준적이지 않다.)

이 푸아송 다양체를 주다발 ${\displaystyle P}$의 국소 선형 모형(局所線型模型, 영어: local linear model)이라고 한다.^[7]:§5.8

역사

시메옹 드니 푸아송의 이름을 땄다. 이 개념은 물리학에서 비롯되었다. 고전 역학에서, 해밀턴 계를 정의하려면 사실 심플렉틱 다양체 대신 푸아송 다양체의 구조만으로 족하다. 즉, 어떤 해밀토니언 함수 ${\displaystyle H\colon M\to \mathbb {R} }$가 주어졌을 때, 벡터장 ${\displaystyle \{H,-\}}$은 다양체 ${\displaystyle M}$ 위의 1차 상미분 방정식을 정의하며, 이는 고전 역학의 해밀턴 방정식(의 일반화)이다.

각주

1. Dufour, Jean-Paul; Nguyen Tien Zung (2005). 《Poisson structures and their normal forms》. Progress in Mathematics (영어) 242. Birkhäuser. doi:10.1007/b137493. ISBN 978-3-7643-7334-4. ISSN 0743-1643. 
2. Guillemin, V.; Sternberg, S. (1984). 《Symplectic techniques in Physics》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 0-521-24866-3. 
3. Weinstein, Alan (1998년 8월). “Poisson geometry”. 《Differential Geometry and its Applications》 (영어) 9 (1–2): 213–238. doi:10.1016/S0926-2245(98)00022-9. 
4. Crainic, Marius; Mărcuț, Ioan (2011). “On the existence of symplectic realizations”. 《Journal of Symplectic Geometry》 (영어) 9 (4): 435–444. arXiv:1009.2085. 
5. Карасёв, М. В. (1987). “Аналоги объектов теории групп Ли для нелинейных скобок Пуассона”. 《Известия академии наук Союза Советских Социалистических Республик. Серия математическая》 (러시아어) 28: 497–527. doi:10.1070/IM1987v028n03ABEH000895. MR 854594. Zbl 0624.58007. 
6. Weinstein, Alan (1983). “The local structure of Poisson manifolds”. 《Journal of Differential Geometry》 (영어) 18 (3): 523–557. doi:10.4310/jdg/1214437787. MR 723816. Zbl 0524.58011.  Weinstein, Alan (1983). “Errata and addenda: “The local structure of Poisson manifolds””. 《Journal of Differential Geometry》 (영어) 18 (3): 523–557. doi:10.4310/jdg/1214439822. MR 834280. 
7. Crainic, Marius; Loja Fernandes, Rui; Martínez Torres, David (2015). “Poisson manifolds of compact types” (영어). arXiv:1510.07108. 

외부 링크

• Loja Fernandes, Rui; Mărcuț, Ioan (2015년 10월 23일). “Lectures on Poisson geometry” (PDF) (영어). 2018년 7월 15일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2018년 7월 14일에 확인함. 
• “Poisson manifold”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Poisson manifold”. 《nLab》 (영어). 
• “Poisson tensor”. 《nLab》 (영어). 
• “Lie-Poisson structure”. 《nLab》 (영어). 
• “Linear Poisson structure”. 《nLab》 (영어). 
• “Off-shell Poisson bracket”. 《nLab》 (영어). 
• “Poisson algebra”. 《nLab》 (영어). 
• “Poisson Lie algebroid”. 《nLab》 (영어).