킬링 형식

리 군 이론에서, 킬링 형식(Killing形式, 영어: Killing form)은 리 대수 위에 자연스럽게 존재하는 대칭 쌍선형 형식이다.^[1][2] 리 대수의 딸림표현의 곱의 대각합이다.

정의

추상적 정의

가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$가 주어졌다고 하고, 또한 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$가 유한 차원 ${\displaystyle K}$-자유 가군이라고 하자. 이제, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 딸림표현

${\displaystyle \operatorname {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to \operatorname {GL} ({\mathfrak {g}};k)}$

${\displaystyle \operatorname {ad} (x)\colon y\mapsto [x,y]}$

를 생각하자. 그렇다면, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 킬링 형식

${\displaystyle B\colon {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to K}$

는 다음과 같은 대칭 쌍선형 형식이다.

${\displaystyle B(a,b)=\operatorname {tr} \left(\operatorname {ad} (a)\operatorname {ad} (b)\right)}$

여기서 대각합은 딸림표현에서 취한 것이다.

리 초대수의 경우

보다 일반적으로, 체 ${\displaystyle K}$ 위의 리 초대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$가 주어졌다고 하고, 또한 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$가 유한 차원 ${\displaystyle K}$-초벡터 공간이라고 하자. 이제, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 딸림표현

${\displaystyle \operatorname {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} ({\mathfrak {g}};K)}$

${\displaystyle \operatorname {ad} (x)\colon y\mapsto [x,y\}}$

를 생각하자. 그렇다면, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 킬링 형식

${\displaystyle B\colon {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to K}$

는 다음과 같은 쌍선형 형식이다.^[3]:§23

${\displaystyle B(a,b)=\operatorname {str} \left(\operatorname {ad} (a)\operatorname {ad} (b)\right)}$

여기서 초대각합은 딸림표현에서 취한 것이다.

성분을 통한 정의

체 위의 유한 차원 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 기저 ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$를 잡고, 이에 대한 구조 상수가

${\displaystyle [x_{i},x_{j}]=f_{ij}{}^{k}x_{k}}$

라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 킬링 형식은 다음과 같다.

${\displaystyle B(x_{i},x_{j})=B_{ij}=\sum _{k}\sum _{l}f_{ik}{}^{l}f_{jl}{}^{k}}$

성질

킬링 형식은 대각합의 순환성(${\displaystyle \operatorname {tr} (XY)=\operatorname {tr} (YX)}$)에 의하여 대칭 쌍선형 형식을 이룬다.

킬링 형식은 다음과 같은 항등식을 만족시킨다.

${\displaystyle B([x,y],z)=B(x,[y,z])}$

리 초대수의 킬링 형식

체 ${\displaystyle K}$ 위의 유한 차원 리 초대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 킬링 형식 ${\displaystyle B}$는 다음과 같은 성질을 갖는다.^[3]:§23

${\displaystyle B({\mathfrak {g}}_{0},{\mathfrak {g}}_{1})=0}$

${\displaystyle B(x,y)=(-)^{\deg x\deg y}B(y,x)\qquad \forall x,y\in {\mathfrak {g}}_{0}\cup {\mathfrak {g}}_{1}}$

${\displaystyle B([x,y\},z)=B(x,[y,z\})\qquad \forall x,y,z\in {\mathfrak {g}}}$

단순 리 대수의 경우와 달리, 표수 0의 대수적으로 닫힌 체 위의 단순 리 초대수는 킬링 형식이 0일 수 있다. 표수 0의 대수적으로 닫힌 체 위의 단순 리 초대수 가운데, 킬링 형식이 0인 것은 다음과 같다.^[3]:§23

• ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n|n)}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {osp}}(4|2;\alpha )}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {osp}}(2n+2|2n)}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {p}}(n)}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {q}}(n)}$

나머지 단순 리 초대수는 모두 0이 아닌 킬링 형식을 갖는다.

직합

체 ${\displaystyle K}$ 위의 두 유한 차원 리 (초)대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}'}$에 대하여, 그 직합 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {g}}'}$의 킬링 형식은 다음과 같다.

${\displaystyle B_{{\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {g}}'}(x\oplus x',y\oplus y')=B_{\mathfrak {g}}(x,y)+B_{\mathfrak {h}}(x',y')\qquad (x,y\in {\mathfrak {g}},\;x',y'\in {\mathfrak {g}}')}$

실수체 위의 리 대수

만약 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$가 단순 리 대수라면 위 항등식을 만족하는 모든 형식은 킬링 형식의 스칼라배이다.

리 대수가 반단순 리 대수인 필요 충분 조건은 그 킬링 형식이 비퇴화 쌍선형 형식인 것이다. 이를 카르탕 조건(Cartan條件, 영어: Cartan criterion)이라고 한다.

실수체 위의 콤팩트 리 대수의 킬링 형식은 항상 음의 정부호 쌍선형 형식이다.

예

아벨 리 대수

임의의 체 ${\displaystyle K}$ 위의 유한 차원 아벨 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 킬링 형식은 항상 0이다.

행렬 리 대수

임의의 체 ${\displaystyle K}$ 및 자연수 ${\displaystyle n}$에 대하여, 일반 선형 리 대수 ${\displaystyle \operatorname {\mathfrak {gl}} (n;K)}$의 킬링 형식은 다음과 같다.

${\displaystyle B_{{\mathfrak {gl}}(n)}(X,Y)=2n\operatorname {tr} (XY)-2\operatorname {tr} (X)\operatorname {tr} (Y)}$

또한, 특수 선형 리 대수 ${\displaystyle \operatorname {\mathfrak {sl}} (n;K)}$의 킬링 형식은 다음과 같다.

${\displaystyle B_{{\mathfrak {sl}}(n)}(X,Y)=2n\operatorname {tr} (XY)}$

증명:

편의상, ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n;K)}$의 기저 ${\displaystyle (e_{ij})_{1\leq i,j\leq n}}$가 ${\displaystyle (i,j)}$번째 성분만이 1이며, 나머지 성분이 모두 0인 행렬이라고 하자. 그렇다면,

${\displaystyle [M,e_{ij}]_{ab}=\delta _{jb}M_{ai}-\delta _{ia}M_{jb}}$

이다. 이제, 야코비 항등식에 의하여,

${\displaystyle [M,[N,e_{ij}]]+[e_{ij},[M,N]]+[N,[e_{ij},M]]=0}$

이다. 따라서,

${\displaystyle c_{ij}=([M,[N,e_{ij}])_{ij}}$

${\displaystyle B(M,N)=\sum _{ij}c_{ij}}$

라고 놓으면,

${\displaystyle c_{ij}=\left(\sum _{a=1}^{n}M_{ia}N_{ai}\right)-M_{ii}N_{jj}-N_{ii}M_{jj}+\left(\sum _{a=1}^{n}N_{ja}M_{aj}\right)}$

가 된다. 따라서,

${\displaystyle B(M,N)=\sum _{i,j=1}^{n}\left(\left(\sum _{a=1}^{n}M_{ia}N_{ai}\right)-M_{ii}N_{jj}-N_{ii}M_{jj}+\left(\sum _{a=1}^{n}N_{ja}M_{aj}\right)\right)=2n\operatorname {tr} (MN)-2\operatorname {tr} M\operatorname {tr} N}$

이다.

특수 선형 리 대수의 경우, 표준적인 분해

${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n;K)\oplus K\cong {\mathfrak {gl}}(n;K)}$

아래, 아벨 리 대수 ${\displaystyle K}$의 킬링 형식이 0이므로, 이는 일반 선형 리 대수의 경우의 표현을 그대로 사용할 수 있다. (물론, 이 경우 둘째 항이 0이 된다.)

행렬 리 대수의 경우, 킬링 형식은 다음과 같다.

리 대수	설명	킬링 형식
gl(n, ℂ)	n×n 복소수 행렬	2n tr(XY) − 2 tr(X)tr(Y)
sl(n, ℝ)	n×n 무대각합 복소수 행렬	2n tr(XY)
su(n)	n×n 반에르미트 행렬	2n tr(XY)
so(n, ℝ)	n×n 반대칭 실수 행렬	(n−2) tr(XY)
so(n, ℂ)	n×n 반대칭 복소수 행렬	(n−2) tr(XY)
sp(2n, ℝ)	2n×2n 실수 해밀턴 행렬	(2n+2) tr(XY)
sp(2n, ℂ)	2n×2n 복소수 해밀턴 행렬	(2n+2) tr(XY)

리 대수의 계량과 이중 콕서터 수

단순 리 대수의 경우, 통상적으로 계량을 긴 근의 길이가 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$가 되게 규격화한다.^{[4]:27[5]:§13.1.10} 이 경우 짧은 근의 길이는 B_n, C_n, F₄인 경우 1 또는 G₂의 경우 ${\displaystyle {\sqrt {2/3}}}$이다. 이렇게 규격화할 경우, 계량 형식은 다음과 같다.^[6]

리 대수	행렬 표현	규격화 계량 형식
su(n)	n×n 반에르미트 행렬	− tr(XY)
so(n, ℝ)	n×n 반대칭 행렬	− ½tr(XY)
usp(2n)	2n×2n 반에르미트 해밀턴 행렬	− tr(XY)
	n×n 사원수 반에르미트 행렬	− tr(XY + YX)
e6	27×27 반에르미트 행렬	− (9/4) tr(XY)
e7	56×56 반대칭 행렬	− (3/2) tr(XY)
e8	248×248 반대칭 행렬	− (41/10) tr(XY)
f4	26×26 반대칭 행렬	− (4/3) tr(XY)
g2	7×7 반대칭 행렬	− (5/8) tr(XY)

이렇게 계량 형식을 규격화하면, 3차원 초구로부터의 임의의 연속 함수 ${\displaystyle f\colon \mathbb {S} ^{3}\to G}$에 대하여 항상

${\displaystyle {\frac {1}{48\pi }}\int _{G}\langle g^{-1}dg,[g^{-1}dg,g^{-1}dg]\rangle \in \mathbb {Z} }$

이다.^[6]

이렇게 규격화한 계량 형식을 ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$로 놓으면,

${\displaystyle K=-2h^{\vee }\langle \cdot ,\cdot \rangle }$

이다.^{[7]:§6.1[5]:§13.1.2} 여기서 ${\displaystyle h^{\vee }}$는 단순 리 대수의 이중 콕서터 수(영어: dual Coxeter number)이다. (이는 빅토르 카츠가 도입하였고, 해럴드 스콧 맥도널드 콕서터의 이름을 땄다.) 이는 다음 표와 같다.

리 대수	an	bn	cn	dn	e6	e7	e8	f4	g2
다른 이름	SU(n+1)	SO(2n+1)	USp(2n)	SO(2n)	—
이중 콕서터 수	n+1	2n−1	n+1	2n−2	12	18	30	9	4

역사

엘리 카르탕이 1894년에 도입하였다.^[8] 독일 수학자 빌헬름 킬링의 이름을 땄다.

같이 보기

• 킬링 벡터장

각주

1. Bump, Daniel (2004). 《Lie Groups》. Graduate Texts In Mathematics (영어) 225. Springer. ISBN 978-0-387-21154-1. 
2. Fuchs, Jurgen (1992). 《Affine Lie Algebras and Quantum Groups》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 0-521-48412-X. 
3. Frappat, L.; Sciarrino, A.; Sorba, P. (1996년 7월). “Dictionary on Lie superalgebras” (영어). arXiv:hep-th/9607161. Bibcode:1996hep.th....7161F. 
4. Slansky, R. (1981년 12월). “Group theory for unified model building”. 《Physics Reports》 (영어) 79 (1): 1–128. Bibcode:1981PhR....79....1S. doi:10.1016/0370-1573(81)90092-2. ISSN 0370-1573. 
5. Di Francesco, Philippe; Pierre Mathieu, David Sénéchal (1997). 《Conformal field theory》. doi:10.1007/978-1-4612-2256-9. ISBN 978-1-4612-7475-9.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
6. Hori, Kentaro. “Some notes on compact Lie groups” (PDF). 2013년 12월 4일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2013년 12월 3일에 확인함. 
7. Kac, Victor G. (1990). 《Infinite Dimensional Lie Algebras》 3판. doi:10.1017/CBO9780511626234. ISBN 9780521466936.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
8. Cartan, Élie (1894). 《Sur la structure des groupes de transformations finis et continus》. Thesis. Nony. 

외부 링크

• “Killing form”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Killing form”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Killing form”. 《nLab》 (영어). 
• “What role does the “dual Coxeter number” play in Lie theory (and should it be called the “Kac number”)?” (영어). Math Overflow.