추상대수학 에서 미분 대수 (微分代數, 영어 : differential algebra )는 곱 규칙 을 만족하는 자기 선형 변환 이 갖추어진 결합 대수 이다. 해석학 에서의 미분 연산을 공리화한 개념이다.
다음이 주어졌다고 하자.
가환환
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
결합 대수
(
A
,
+
,
0
A
,
⋅ ⋅ -->
,
1
A
)
{\displaystyle (A,+,0_{A},\cdot ,1_{A})}
(
A
,
A
)
{\displaystyle (A,A)}
쌍가군
A
M
A
{\displaystyle _{A}M_{A}}
K
{\displaystyle K}
k
m
=
m
k
∀ ∀ -->
m
∈ ∈ -->
M
,
k
∈ ∈ -->
K
{\displaystyle km=mk\;\forall m\in M,\;k\in K}
M
{\displaystyle M}
A
e
=
A
⊗ ⊗ -->
K
A
op
{\displaystyle A^{\operatorname {e} }=A\otimes _{K}A^{\operatorname {op} }}
왼쪽 가군 이다.)그렇다면,
M
{\displaystyle M}
A
{\displaystyle A}
미분 (微分, 영어 : derivation )은 다음과 같은
K
{\displaystyle K}
선형 변환 이다.
∂ ∂ -->
: : -->
A
→ → -->
M
{\displaystyle \partial \colon A\to M}
이는 다음과 같은 곱 규칙 을 만족시켜야 한다.
∂ ∂ -->
(
a
b
)
=
(
∂ ∂ -->
a
)
b
+
a
(
∂ ∂ -->
b
)
∀ ∀ -->
a
,
b
∈ ∈ -->
A
{\displaystyle \partial (ab)=(\partial a)b+a(\partial b)\qquad \forall a,b\in A}
흔히,
A
M
A
=
A
A
A
{\displaystyle _{A}M_{A}={}_{A}A_{A}}
미분 대수
(
K
,
A
,
∂ ∂ -->
)
{\displaystyle (K,A,\partial )}
가환환
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
결합 대수
(
A
,
+
,
0
A
,
⋅ ⋅ -->
,
1
A
)
{\displaystyle (A,+,0_{A},\cdot ,1_{A})}
미분을 이루는 자기 사상
∂ ∂ -->
: : -->
A
→ → -->
A
{\displaystyle \partial \colon A\to A}
결합 대수 준동형이 될 필요가 없다.) 특히, 정수환
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
결합 대수 는 환 이므로, 만약
K
=
Z
{\displaystyle K=\mathbb {Z} }
정수환 )인 경우, 그 위의 미분 대수를 미분환 (微分環,영어 : differential ring )이라고 한다. 또한,
K
=
Z
{\displaystyle K=\mathbb {Z} }
A
{\displaystyle A}
체 를 이루는 경우,
(
K
,
A
,
∂ ∂ -->
)
{\displaystyle (K,A,\partial )}
미분체 (微分體, 영어 : differential field )라고 한다.
만약 미분 대수의 개념에, 등급 을 주어 일반화하면 미분 등급 대수
같은 가환환
K
{\displaystyle K}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
미분 대수 준동형 (微分代數準同形, 영어 : differential algebra homomorphism )은 대수 구조 로서의 준동형 이다. 즉,
K
{\displaystyle K}
결합 대수 준동형
f
: : -->
A
→ → -->
B
{\displaystyle f\colon A\to B}
f
(
∂ ∂ -->
a
)
=
∂ ∂ -->
f
(
a
)
∀ ∀ -->
a
∈ ∈ -->
A
{\displaystyle f(\partial a)=\partial f(a)\qquad \forall a\in A}
미분체 확대 (微分體擴大, 영어 : differential field extension )는 두 미분체 사이의 미분 대수 준동형이다. 이는 체의 확대 이므로 항상 단사 함수 이다.
가환환
K
{\displaystyle K}
결합 대수
A
{\displaystyle A}
a
∈ ∈ -->
A
{\displaystyle a\in A}
교환자
[
a
,
− − -->
]
: : -->
b
↦ ↦ -->
[
a
,
b
]
=
a
b
− − -->
b
a
{\displaystyle [a,-]\colon b\mapsto [a,b]=ab-ba}
를 정의한다면
(
K
,
A
,
[
a
,
− − -->
]
)
{\displaystyle (K,A,[a,-])}
[
a
,
b
c
]
=
a
b
c
− − -->
b
c
a
=
a
b
c
− − -->
b
a
c
+
b
a
c
− − -->
b
c
a
=
[
a
,
b
]
c
+
b
[
a
,
c
]
{\displaystyle [a,bc]=abc-bca=abc-bac+bac-bca=[a,b]c+b[a,c]}
환
R
{\displaystyle R}
다항식환
R
[
x
]
{\displaystyle R[x]}
선형 변환
∂ ∂ -->
: : -->
R
[
x
]
→ → -->
R
[
x
]
{\displaystyle \partial \colon R[x]\to R[x]}
∂ ∂ -->
: : -->
r
x
n
↦ ↦ -->
{
n
r
x
n
− − -->
1
n
>
0
0
n
=
0
∀ ∀ -->
r
∈ ∈ -->
R
,
n
∈ ∈ -->
N
{\displaystyle \partial \colon rx^{n}\mapsto {\begin{cases}nrx^{n-1}&n>0\\0&n=0\end{cases}}\qquad \forall r\in R,\;n\in \mathbb {N} }
그렇다면
(
R
,
R
[
x
]
,
∂ ∂ -->
)
{\displaystyle (R,R[x],\partial )}
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
그렇다면,
M
{\displaystyle M}
매끄러운 함수 들의 집합
C
∞ ∞ -->
(
M
;
R
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} )}
실수 벡터 공간 을 이루며, 또한 점별 합과 곱에 대하여 실수 결합 대수 를 이룬다.
벡터장은
C
∞ ∞ -->
(
M
;
R
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} )}
X
f
=
X
μ μ -->
∂ ∂ -->
μ μ -->
f
{\displaystyle Xf=X^{\mu }\partial _{\mu }f}
그렇다면,
(
R
,
C
∞ ∞ -->
(
M
;
R
)
,
X
)
{\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} ),X)}
가환환
K
{\displaystyle K}
리 대수
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
미분
∂ ∂ -->
: : -->
g
→ → -->
g
{\displaystyle \partial \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}
K
{\displaystyle K}
선형 변환 이다.
∂ ∂ -->
[
a
,
b
]
=
[
∂ ∂ -->
a
,
b
]
+
[
a
,
∂ ∂ -->
b
]
{\displaystyle \partial [a,b]=[\partial a,b]+[a,\partial b]}
이 경우,
∂ ∂ -->
{\displaystyle \partial }
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
보편 포락 대수
U
-->
(
g
)
{\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {g}})}
∂ ∂ -->
a
1
a
2
⋯ ⋯ -->
a
k
=
∑ ∑ -->
i
=
1
k
a
1
⋯ ⋯ -->
a
i
− − -->
1
(
∂ ∂ -->
a
i
)
a
i
+
1
⋯ ⋯ -->
a
k
(
k
∈ ∈ -->
N
,
a
1
,
… … -->
,
a
k
∈ ∈ -->
g
)
{\displaystyle \partial a_{1}a_{2}\cdots a_{k}=\sum _{i=1}^{k}a_{1}\cdots a_{i-1}(\partial a_{i})a_{i+1}\cdots a_{k}\qquad (k\in \mathbb {N} ,\;a_{1},\dots ,a_{k}\in {\mathfrak {g}})}
그렇다면,
(
K
,
U
-->
(
g
)
,
∂ ∂ -->
)
{\displaystyle (K,\operatorname {U} ({\mathfrak {g}}),\partial )}
![{\displaystyle [a,-]\colon b\mapsto [a,b]=ab-ba}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06bda8dde5db24e15e380127b43eb73fe0d2505a)
![{\displaystyle (K,A,[a,-])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0d622820b56617dc84d88aeb9c2dd58cef565c7)
![{\displaystyle [a,bc]=abc-bca=abc-bac+bac-bca=[a,b]c+b[a,c]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efa4705dba9017b678407d61e1823c8594ed6be3)
![{\displaystyle R[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ce54622cb380383ab3a42441b056626ea0d2440)
![{\displaystyle \partial \colon R[x]\to R[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aef743dcb8a56a84030d1198847c0f84a113b00)
![{\displaystyle (R,R[x],\partial )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51da29d83b6066b52759f7cbc319fbd1e95aaa14)
![{\displaystyle \partial [a,b]=[\partial a,b]+[a,\partial b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b51b84514f495b62e4e47413f8fdbfbd4865a30)
