論理記号の一覧

論理記号の一覧（ろんりきごうのいちらん）では、論理学における記号について解説する。論理記号は、当学問分野で広く論理的表現を表すのに用いられている。

以下の表は多くの一般的な記号について、それらの名称と読み方、数学における関連分野について記している。加えて、非形式的な定義と単純な例を示す。そしてUnicodeにおける符号位置や文字参照、LaTeXで使用可能なコマンドを記している。

基礎的な論理記号

記号	名称 / 読み方		Unicode	文字参照	実体参照	LaTeXコマンド
	説明
	例
⇒	実質含意	含む; もし～ならば	U+21D2	⇒	⇒	${\displaystyle \Rightarrow }$ \Rightarrow ${\displaystyle \implies }$ \implies
	古典論理においては、A が偽または B が真であるとき、A ⇒ B を真とする。 直観主義論理においては、A を前提として B が証明できるとき、A ⇒ B を真とする。 どの記号を使うかは文献による。
→			U+2192	→	→	${\displaystyle \to }$ \to
	例：x = 2 ⇒ x^2 = 4 は真である。 ただし x^2 = 4 ⇒ x = 2 は一般に偽である（ここで x は -2 の可能性もある）。
⊃			U+2283	⊃	⊃	${\displaystyle \supset }$ \supset
⇔	実質等値	～のとき、かつそのときに限り; iff;	U+21D4	⇔	⇔	${\displaystyle \Leftrightarrow }$ \Leftrightarrow ${\displaystyle \iff }$ \iff
	「A ⇔ B」は、A と B が共に真、または共に偽のときのみ真となる。
≡			U+2261	≡	≡	${\displaystyle \equiv }$ \equiv
	例：x + 5 = y + 2 ⇔ x + 3 = y
↔			U+2194	↔	↔	${\displaystyle \leftrightarrow }$ \leftrightarrow
¬	否定	～ではない	U+00AC	¬	¬	${\displaystyle \lnot }$ \lnot ${\displaystyle \neg }$ \neg
	言明「¬A」は A が偽のときのみ真となる。 演算子の上に置かれたスラッシュは、否定記号 ¬ が演算子の前に置かれているのと同じく、その演算子の否定を意味する。
˜			U+02DC	˜	˜	${\displaystyle {\tilde {}}}$ \tilde{}
	例：¬(¬A) ⇔ A, x ≠ y ⇔ ¬(x = y)
!			U+0021	!	!
記号	名称 / 読み方		Unicode	文字参照	実体参照	LaTeXコマンド
	説明
	例
∧	論理積	かつ (and)	U+2227	∧	∧	${\displaystyle \land }$ \land ${\displaystyle \wedge }$ \wedge
	言明「A ∧ B」は、A と B が共に真であるときのみ、真である、他の場合は偽。
·			U+00B7	·	·	${\displaystyle \cdot }$ \cdot
⋅			U+22C5	⋅	⋅
	例：n < 4 ∧ n > 2 ⇔ n = 3（n が自然数であるとき）
&			U+0026	&#38;	&amp;	${\displaystyle \&}$ \&
∨	論理和	または (or)	U+2228	&#8744;	&or;	${\displaystyle \lor }$ \lor ${\displaystyle \vee }$ \vee
	言明「A ∨ B」は、A または B のいずれか（または両方）が真のとき、真である; そして両方が偽のときは、偽。
+			U+002B	&#43;	-
	例：n ≥ 4 ∨ n ≤ 2 ⇔ n ≠ 3 （n が自然数であるとき）
∥			U+2225	&#8741;	-	${\displaystyle \parallel }$ \parallel
⊕	排他的論理和	xor	U+2295	&#8853;	&oplus;	${\displaystyle \oplus }$ \oplus
	言明「A ⊕ B」は、A または B のいずれか（両方ではない）が真のとき、真となる。 「A ⊻ B」も意味は同じ。
⊻			U+22BB	&#8891;	-	${\displaystyle \veebar }$ \veebar
	例：(¬A) ⊕ A は常に真である。A ⊕ A は常に偽である。
⊤	トートロジー	トップ	U+22A4	&#8868;	-	${\displaystyle \top }$ \top
	言明「⊤」は無条件に真である。
T			U+0054	&#84;	-
	例：A ⇒ ⊤ は常に真。
1			U+0031	&#49;	-
⊥	矛盾	ボトム	U+22A5	&#8869;	-	${\displaystyle \bot }$ \bot
	言明「⊥」は無条件に偽である。
F			U+0046	&#70;	-
	例：⊥ ⇒ A は常に真。
0			U+0030	&#48;	-
記号	名称 / 読み方		Unicode	文字参照	実体参照	LaTeXコマンド
	説明
	例
∀	全称量化	すべての; 任意の; それぞれについて	U+2200	&#8704;	&forall;	${\displaystyle \forall }$ \forall
	「∀ x: P(x)」は、すべての x について P(x) が真であることを意味する。
	例：∀ n. n^2 ≥ n. (算術の言語および公理系において)
∃	存在量化	～が存在する	U+2203	&#8707;	&exist;	${\displaystyle \exists }$ \exists
	「∃ x: P(x)」は、P(x) を満たす x が少なくとも1つは存在することを意味する。
	例：∃ n. n が偶数.
∃!	唯一存在量化（英語版）	～がただ1つ存在する	U+2203 U+0021	&#8707;&#33;	-	${\displaystyle \exists !}$ \exists!
	「∃! x: P(x)」は、P(x) を満たす x がただ1つ存在することを意味する。
	例：∃! n. n + 5 = 2n.
記号	名称 / 読み方		Unicode	文字参照	実体参照	LaTeXコマンド
	説明
	例
≔	定義	～として定義される	U+2254	&#8788;	-	${\displaystyle {{\mathrel {\mathop {:} }}\!\!}=}$ \coloneqq[注釈 1]
	「x ≔ y」や「x ≡ y」は、x は y の別名として定義されることを意味する。 (ただし「≡」は、単なる一致も意味する） 「P :⇔ Q」は、P が Q と論理的に等価に定義されることを意味する。
≡			U+2261	&#8801;	&equiv;	${\displaystyle \equiv }$ \equiv
	例： cosh x ≔ (1/2)(exp x + exp (−x)) A XOR B :⇔ (A ∨ B) ∧ ¬(A ∧ B)
:⇔			U+003A U+229C	&#58;&#8860;	:&hArr;	${\displaystyle :\Leftrightarrow }$ :\Leftrightarrow
( )	優先順位	括弧	U+0028 U+0029	&#40; &#41;	&exist;	${\displaystyle ()}$ ()
	括弧内の操作を優先して実行する。
	例：(8 ÷ 4) ÷ 2 = 2 ÷ 2 = 1, 一方で 8 ÷ (4 ÷ 2) = 8 ÷ 2 = 4.
⊢	ターンスタイル（英語版）	～を証明する	U+22A2	&#8866;	-	${\displaystyle \vdash }$ \vdash
	「x ⊢ y」は x から y が形式的に証明されることを意味する。
	例：A → B ⊢ ¬B → ¬A
⊨	ダブル・ターンスタイル（英語版）	～を含意する	U+22A8	&#8872;	-	${\displaystyle \vDash }$ \vDash
	「x ⊨ y」は x が y を含意することを意味する。
	例：A → B ⊨ ¬B → ¬A
記号	名称 / 読み方		Unicode	文字参照	実体参照	LaTeXコマンド
	説明
	例

その他の論理記号

以下では、発展的または稀に用いられる論理記号について述べる。

⋅

オーバーラインの引かれた中点は否定論理積 NAND を表す。A · B は ¬ (A & B) と等価。

オーバーライン

数式の上に引かれたオーバーラインは、ゲーデル数を表すことがある。例えば A ∨ B は、論理式 A ∨ B のゲーデル数を意味する。

またオーバーラインで否定を表すこともある。例えば A ∨ B は、¬(A ∨ B) と等価。

U+007C | vertical line

U+2191 ↑ upwards arrow

U+22BC ⊼ nand

シェファーの棒記号 (Sheffer stroke) とも呼ばれ、否定論理積 NAND 演算子である。

U+2193 ↓ downwards arrow

U+22BD ⊽ nor

パースの矢印 (Peirce arrow) とも呼ばれ、否定論理和 NOR 演算子である。

U+2201 ∁ complement

集合論において補集合を表す。例えば、全体集合が了解されている集合 A について、その補集合は ${\displaystyle \complement A}$ と表される。

U+2204 ∄ there does not exist

斜線の引かれた存在量化子は、¬∃ と等価である。すなわち存在の否定を意味する。

U+2234 ∴ therefore

「故に、従って (therefore)」を意味する。

U+2235 ∵ because

「なぜならば (because)」を意味する。

U+22A7 ⊧ models

左辺が右辺のモデルであることを意味する2項演算子。例えば理論 T について「M ⊧ T」は、M が T のモデルであることを意味する^[1]。

U+22A8 ⊨ true

右辺が左辺の論理的帰結であることを意味する2項演算子。例えば理論 T と論理式 φ について「T ⊨ φ」は、φ が T の論理的帰結である、すなわち φ が T の定理であることを意味する。

また「論理的に正しい」ことを意味する前置演算子。「∅ ⊧ φ」を「⊧ φ」と略記する、ここで ∅ は空集合^[1]。

U+22AC ⊬ does not prove

「証明不可能」を意味する。例えば理論 T と論理式 φ について「T ⊬ φ」は、T から φ が証明不可能である、すなわち φ は T の定理ではないことを意味する。

U+22AD ⊭ not true

U+22A8 ⊨ true の否定。

U+22C6 ⋆ star operator

アドホックな演算子について用いられる。

U+231C ⌜ top left corner

U+231D ⌝ top right corner

角引用符 (corner quotes) は「クワインの引用符」または「疑似引用符」(quasi-quotation) と呼ばれ、ゲーデル数を意味する。例えば論理式 φ について「⌜φ⌝」は、ゲーデル数化された φ を意味する^[2]。

脚注

注釈

1. mathtools パッケージの導入が必要

出典

1. ^ 新井 2011, p. 23.
2. 田中 2007, pp. 78–79.

参考文献

• 新井敏康『数学基礎論』岩波書店、2011年5月19日。ISBN 978-4-00-005536-9。 
• 田中一之 編『ゲーデルと20世紀の論理学 3 不完全性定理と算術の体系』東京大学出版会、2007年3月1日。ISBN 978-4-13-064097-8。 

関連項目

• List of notation used in Principia Mathematica（英語版）
• 数学記号の表
• 論理回路#組み合わせ回路
• 論理演算
• Mathematical operators and symbols in Unicode（英語版）
• Polish notation（英語版）
• 真理関数
• 真理値表