Numero ettagonale

I primi cinque numeri ettagonali

Un numero ettagonale è un numero poligonale che rappresenta un ettagono di ${\displaystyle n}$ lati. L'${\displaystyle n}$-esimo numero ettagonale può essere calcolato con la formula:

${\displaystyle H_{n}={\frac {5n^{2}-3n}{2}}.}$

I primi 20 numeri ettagonali sono:

1, 7, 18, 34, 55, 81, 112, 148, 189, 235, 286, 342, 403, 469, 540, 616, 697, 783, 874, 970, 1071, 1177, 1288, 1404, 1525, 1651, 1782, 1918, 2059, 2205, 2356, 2512, 2673, 2839, 3010, 3186, 3367, 3553, 3744, 3940, 4141, 4347, 4558, 4774, 4995, 5221, 5452, 5688 (successione A000566 dell'OEIS).

La parità dei numeri ettagonali segue il modello dispari-dispari-pari-pari. Come nel caso dei numeri quadrati, la radice digitale in base 10 di un numero ettagonale può essere solo 1, 4, 7 o 9.

Il quintuplo di un numero ettagonale aumentato di 1 è un numero triangolare.

La formula per la somma dei reciproci dei numeri ettagonali è data da

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{n(5n-3)}}={\frac {1}{15}}{\pi }{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}+{\frac {2}{3}}\ln(5)+{\frac {{1}+{\sqrt {5}}}{3}}\ln \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)+{\frac {{1}-{\sqrt {5}}}{3}}\ln \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right).}$^[1]

La funzione generatrice per i numeri ettagonali è

${\displaystyle {\frac {x(4x+1)}{(1-x)^{3}}}.}$

I numeri ettagonali soddisfano la seguente formula ricorsiva:

${\displaystyle H_{m+n}=H_{m}+H_{n}+5mn.}$

Numeri ettagonali generalizzati

Un numero ettagonale generalizzato è ottenuto dalla formula

${\displaystyle T_{n}+T_{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor },}$

dove ${\displaystyle T_{n}}$ è l'${\displaystyle n}$-esimo numero triangolare. I primi numeri ettagonali generalizzati sono:

1, 4, 7, 13, 18, 27, 34, 46, 55, 70, 81, 99, 112 (successione A085787 dell'OEIS).

Ogni altro numero ettagonale generalizzato è un regolare numero ettagonale. Esclusi 1 e 70, nessun altro numero ettagonale generalizzato è anche un numero di Pell.^[2]

Note

1. Beyond the Basel Problem: Sums of Reciprocals of Figurate Numbers (PDF), su math.psu.edu. URL consultato il 30 dicembre 2010 (archiviato dall'url originale il 29 maggio 2013).
2. B. Srinivasa Rao, "Numeri ettagonali nella Sequenza di Pell e equazioni diofantee ${\displaystyle 2x^{2}=y^{2}(5y-3)^{2}\pm 2}$" Fib. Quart. 43 3: 194

Voci correlate

• Numero figurato
• Numero poligonale

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Numero ettagonale, su MathWorld, Wolfram Research.