Numero stella octangulare

124 palline magnetiche disposte a formare una stella octangula. 124 è un numero stellato octangulare

In teoria dei numeri, un numero stella octangulare è un numero figurato che rappresenta una stella octangula.

La formula per l'${\displaystyle n}$-simo numero stella octangulare è:

${\displaystyle n(2n^{2}-1).}$^[1]

I primi numeri stella octangulari sono: 1, 14, 51, 124, 245, 426, 679, 1016, 1449, 1990, 2651, 3444^[2].

Proprietà matematiche

L'${\displaystyle n}$-esimo numero stella octangulare può essere espresso come la somma dell'${\displaystyle n}$-esimo numero ottaedrico e di 8 volte l'${\displaystyle (n-1)}$-esimo numero tetraedrico.

Gli unici numeri stella octangulari ad essere anche quadrati perfetti sono 1 e 9653449 (3107²), rispettivamente il 1º e il 169º dei numeri di questa forma^[3]. Ciò è stato dimostrato considerando che la curva ellittica che descrive i numeri allo stesso tempo stella octangulari e quadrati,

${\displaystyle m^{2}=n(2n^{2}-1),}$

può essere posta nell'equivalente forma di Weierstrass

${\displaystyle x^{2}=y^{3}-2y}$

sostituendo ${\displaystyle 2m}$ con ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle 2n}$ con ${\displaystyle y}$. Dato che ${\displaystyle n}$ e ${\displaystyle 2n^{2}-1}$, i due fattori di ${\displaystyle m^{2}}$, sono primi tra loro, devono essere anch'essi quadrati.

Ora, ponendo ${\displaystyle X={\frac {m}{\sqrt {n}}}}$ e ${\displaystyle Y={\sqrt {n}}}$, si ha

${\displaystyle X^{2}=2Y^{4}-1.}$^[3]

Un teorema di Siegel afferma che ogni equazione ellittica ha solo un numero finito di soluzioni intere, e nel 1942 il matematico Wilhelm Ljunggren ha pubblicato una complessa dimostrazione del fatto che le due soluzioni note siano le uniche. Per questo, l'ultima equivalenza è anche nota come equazione di Ljunggren^[4] Louis J. Mordell congetturò che tale dimostrazione potesse essere semplificata, come in effetti è poi avvenuto per merito di più matematici.^[3][5][6].

Note

1. John Conway, Richard K. Guy, The Book of Numbers, Springer, 1996, p. 51, ISBN 978-0-387-97993-9..
2. (EN) Sequenza A007588, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
3. Samir Siksek, Descents on Curves of Genus I (PDF) ^{[collegamento interrotto]}, in Tesi di PhD, Università di Exeter, 1995, pp. 16–17.
4. Wilhelm Ljunggren, Zur Theorie der Gleichung x² + 1 = Dy⁴, in Avh. Norske Vid. Akad. Oslo. I., vol. 1942, n. 5, 1942, p. 27..
5. Ray Steiner, Nikos Tzanakis, Simplifying the solution of Ljunggren's equation X² + 1 = 2Y⁴ (PDF), in Journal of Number Theory, vol. 37, n. 2, 1991, pp. 123–132. URL consultato il 24 agosto 2012 (archiviato dall'url originale il 4 marzo 2016).
6. Konstantinos A. Draziotis, The Ljunggren equation revisited, in Colloquium Mathematicum, vol. 109, n. 1, 2007, pp. 9–11.

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Numero stella octangulare, su MathWorld, Wolfram Research.