Densidade natural

Na teoría dos números, a densidade natural, tamén coñecida como densidade asintótica ou densidade aritmética, é un método para medir o "grande" que é un subconxunto do conxunto de números naturais . Depende principalmente da probabilidade de atopar membros do subconxunto desexado ao pasar polo intervalo [1, n] a medida que n aumenta.

Intuitivamente, vemos que hai máis números enteiros positivos que cadrados perfectos. No entanto, o conxunto de enteiros positivos non é de feito maior que o conxunto de cadrados perfectos: ambos os dous conxuntos son infinitos e contables e, polo tanto, pódense poñer en correspondencia un a un. Con todo, se un pasa polos números naturais, os cadrados fanse cada vez máis escasos.

Se seleccionamos un número enteiro aleatoriamente do intervalo [1, n], entón a probabilidade de que pertenza a A é a relación entre o número de elementos de A en [1, n] e o número total de elementos en [1, n] . Se esta probabilidade tende a algún límite mentres n tende ao infinito, entón este límite denomínase densidade asintótica de A. Esta noción pódese entender como unha especie de probabilidade de escoller un número do conxunto A. De feito, a densidade asintótica (así como outros tipos de densidades) estúdase na teoría probabilística dos números .

Definición

Un subconxunto A de enteiros positivos ten densidade natural α se a proporción de elementos de A entre todos os números naturais de 1 a n converxe a α mentres n tende ao infinito.

Máis explicitamente, se se define para calquera número natural n a función de contaxe a(n) como o número de elementos de A menor ou igual a n, entón a densidade natural de A sendo α significa exactamente que ^[1] a(n)/n → α as n → ∞.$${\displaystyle {\underline {d}}(A)=\liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}$$Da definición despréndese que se un conxunto A ten densidade natural α entón 0 ≤ α ≤ 1.

Densidade asintótica superior e inferior

Define a densidade asintótica superior ${\displaystyle {\overline {d}}(A)}$ de ${\displaystyle A}$ (tamén chamada "densidade superior") por$${\displaystyle {\underline {d}}(A)=\liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}$$Do mesmo xeito, define a densidade asintótica máis baixa ${\displaystyle {\underline {d}}(A)}$ de ${\displaystyle A}$ (tamén chamada "densidade inferior") por$${\displaystyle d(A)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}$$Pódese dicir que ${\displaystyle A}$ ten densidade asintótica ${\displaystyle d(A)}$ se ${\displaystyle {\underline {d}}(A)={\overline {d}}(A)}$, nese caso ${\displaystyle d(A)}$ é igual a este valor común se existe este límite. ^[2]

Propiedades e exemplos

• Para calquera conxunto finito F de enteiros positivos, d (F) = 0.

• Se d (A) existe para algún conxunto A e A ^c denota o seu conxunto complemento con respecto a ${\displaystyle \mathbb {N} }$, entón d (A ^c) = 1 − d ( A ).
  • Corolario: Se ${\displaystyle F\subset \mathbb {N} }$ é finito (incluíndo o caso ${\displaystyle F=\emptyset }$ ), ${\displaystyle d(\mathbb {N} \setminus F)=1.}$

• Se ${\displaystyle d(A),d(B),}$ e ${\displaystyle d(A\cup B)}$ existen, daquela$${\displaystyle \max\{d(A),d(B)\}\leq d(A\cup B)\leq \min\{d(A)+d(B),1\}.}$$

• Se ${\displaystyle A=\{n^{2}:n\in \mathbb {N} \}}$ é o conxunto de todos os cadrados, entón d (A) = 0.

• Se ${\displaystyle A=\{2n:n\in \mathbb {N} \}}$ é o conxunto de todos os números pares, entón d (A) = 0,5. Do mesmo xeito, para calquera progresión aritmética ${\displaystyle A=\{an+b:n\in \mathbb {N} \}}$ obtemos ${\displaystyle d(A)={\tfrac {1}{a}}.}$

• Para o conxunto P de todos os primos obtemos do teorema dos números primos que d (P) = 0.

• O conxunto de todos os enteiros libres de cadrados ten densidade ${\displaystyle {\tfrac {6}{\pi ^{2}}}.}$ De forma máis xeral, o conxunto de todos os números libres dunha potencia n para calquera n natural, ten densidade ${\displaystyle {\tfrac {1}{\zeta (n)}},}$ onde ${\displaystyle \zeta (n)}$ é a función zeta de Riemann .

• O conxunto de números abundantes ten unha densidade distinta de cero. ^[3] Marc Deléglise demostrou en 1998 que a densidade do conxunto de números abundantes está entre 0,2474 e 0,2480. ^[4]

• O conxunto

${\displaystyle A=\bigcup _{n=0}^{\infty }\left\{2^{2n},\ldots ,2^{2n+1}-1\right\}}$

de números cuxa expansión binaria contén un número impar de díxitos é un exemplo dun conxunto que non ten unha densidade asintótica, xa que a densidade superior deste conxunto é

${\displaystyle {\overline {d}}(A)=\lim _{m\to \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+1}-1}}=\lim _{m\to \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+1}-1)}}={\frac {2}{3}},}$

mentres que a súa menor densidade é

${\displaystyle {\underline {d}}(A)=\lim _{m\to \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+2}-1}}=\lim _{m\to \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+2}-1)}}={\frac {1}{3}}.}$

• Considera unha secuencia equidistribuída ${\displaystyle \{\alpha _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ en ${\displaystyle [0,1]}$ e define unha familia monótona ${\displaystyle \{A_{x}\}_{x\in [0,1]}}$ de conxuntos:

${\displaystyle A_{x}:=\{n\in \mathbb {N} :\alpha _{n}<x\}.}$

Daquela, por definición, ${\displaystyle d(A_{x})=x}$ para todos os ${\displaystyle x}$ .

• Se S é un conxunto de densidades superiores positivas, entón o teorema de Szemerédi afirma que S contén progresións aritméticas finitas arbitrariamente grandes, e o teorema de Furstenberg–Sárközy afirma que algúns dous membros de S difiren por un número cadrado.

Notas

1. Tenenbaum (1995) p.261
2. Nathanson (2000) pp.256–257
3. Divisors. Cambridge Tracts in Mathematics 90. 1988. p. 95. ISBN 978-0-521-34056-4. Zbl 0653.10001. 
4. ""Bounds for the density of abundant integers"". 1998. pp. 137–143. ISSN 1058-6458. MR 1677091. Zbl 0923.11127. doi:10.1080/10586458.1998.10504363. 

Véxase tamén

Bibliografía

• Nathanson, Melvyn B. (2000). Elementary Methods in Number Theory. Graduate Texts in Mathematics 195. Springer-Verlag. ISBN 978-0387989129. Zbl 0953.11002. 
• Niven, Ivan (1951). "The asymptotic density of sequences". Bulletin of the American Mathematical Society 57 (6). pp. 420–434. MR 0044561. Zbl 0044.03603. doi:10.1090/s0002-9904-1951-09543-9. 
• Steuding, Jörn (2002). "Probabilistic number theory" (PDF). Arquivado dende o orixinal (PDF) o December 22, 2011. Consultado o 2014-11-16. 
• Tenenbaum, Gérald (1995). Introduction to analytic and probabilistic number theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 46. Cambridge University Press. Zbl 0831.11001. 

Outros artigos

• Densidade de Dirichlet
• Conxectura de Erdős sobre progresións aritméticas