Progresión aritmética

En matemáticas, unha progresión aritmética é unha sucesión de números que cumpre que a diferenza entre dous termos consecutivos é constante. Por exemplo, a sucesión 5, 7, 9, 11, 13, 15. . . é unha progresión aritmética con diferenza 2.

Se o termo inicial dunha progresión aritmética é ${\displaystyle a_{1}}$ e a diferenza é d, entón o termo n-ésimo da sucesión (${\displaystyle a_{n}}$) vén dado por:

${\displaystyle \ a_{n}=a_{1}+(n-1)d}$,

e en xeral

${\displaystyle \ a_{n}=a_{m}+(n-m)d}$.

O comportamento dunha progresión aritmética depende da diferenza d:

• Se é positiva os termos crecerán ata máis infinito.
• Se é negativa, os termos irán cara ao menos infinito.

Suma

2	+	5	+	8	+	11	+	14	=	40
14	+	11	+	8	+	5	+	2	=	40
16	+	16	+	16	+	16	+	16	=	80

Cálculo da suma 2 + 5 + 8 + 11 + 14. Cando a sucesión se escribe ao revés e se suma termo a termo, a sucesión resultante ten un único valor repetido, igual á suma do primeiro e o último número (2 + 14 = 16). Así, 16 × 5 = 80 é o dobre da suma.

A suma dos membros dunha progresión aritmética chámase serie aritmética. Por exemplo, considera a suma:

${\displaystyle 2+5+8+11+14}$

Esta suma pode atoparse rapidamente tomando o número de termos que se queren sumar (no exemplo, 5), multiplicándoos pola suma do primeiro e do último número da progresión (aquí 2 + 14 = 16) e dividindo entre 2:

${\displaystyle {\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}}$

No caso superior dá a ecuación:

${\displaystyle 2+5+8+11+14={\frac {5(2+14)}{2}}={\frac {5\times 16}{2}}=40.}$

Esta fórmula funciona para calquera números reais ${\displaystyle a_{1}}$ e ${\displaystyle a_{n}}$. Por exemplo:

${\displaystyle \left(-{\frac {3}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}={\frac {3\left(-{\frac {3}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)}{2}}=-{\frac {3}{2}}.}$

Obtención da fórmula

Proba animada da fórmula que dá a suma dos primeiros enteiros 1+2+...+n.

Para obter a fórmula superior, comeza por expresar a serie aritmética de dúas formas diferentes:

${\displaystyle S_{n}=a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)+\cdots +(a_{1}+(n-2)d)+(a_{1}+(n-1)d)}$

${\displaystyle S_{n}=(a_{n}-(n-1)d)+(a_{n}-(n-2)d)+\cdots +(a_{n}-2d)+(a_{n}-d)+a_{n}.}$

Engadindo en ambos os membros as dúas ecuacións desaparecen todos os termos con d:

${\displaystyle \ 2S_{n}=n(a_{1}+a_{n}).}$

Dividindo ambos os membros entre 2 aparece a ecuación:

${\displaystyle S_{n}={\frac {n}{2}}(a_{1}+a_{n}).}$

Unha forma alternativa aparece volvendo substituír: ${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}$:

${\displaystyle S_{n}={\frac {n}{2}}[2a_{1}+(n-1)d].}$

Ademais, o valor medio da serie pode calcularse como: ${\displaystyle S_{n}/n}$:

${\displaystyle {\overline {n}}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}.}$

No ano 499 o matemático e astrónomo indio Aryabhata publicou este método no Aryabhatiya (sección 2.18).

Produto

O produto dos termos dunha progresión aritmética finita que comeza con a₁, ten diferenza d, e n elementos está determinado pola expresión

${\displaystyle a_{1}a_{2}\cdots a_{n}=d{\frac {a_{1}}{d}}d\left({\frac {a_{1}}{d}}+1\right)d\left({\frac {a_{1}}{d}}+2\right)\cdots d\left({\frac {a_{1}}{d}}+n-1\right)=d^{n}{\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}^{\overline {n}}=d^{n}{\frac {\Gamma \left(a_{1}/d+n\right)}{\Gamma \left(a_{1}/d\right)}},}$

onde ${\displaystyle x^{\overline {n}}}$ denota o factorial crecente e ${\displaystyle \Gamma }$ a función gamma. Porén, a fórmula non é válida se ${\displaystyle a_{1}/d}$ é un enteiro negativo ou cero.

Isto é unha xeneralización do feito de que o produto da progresión ${\displaystyle 1\times 2\times \cdots \times n}$ vén dado polo factorial ${\displaystyle n!}$ e que o produto

${\displaystyle m\times (m+1)\times (m+2)\times \cdots \times (n-2)\times (n-1)\times n\,\!}$

para enteiros positivos ${\displaystyle m}$ e ${\displaystyle n}$ vén dado por

${\displaystyle {\frac {n!}{(m-1)!}}.}$

No exemplo superior, o produto dos 50 primeiros termos da progresión aritmética dada por a_n = 3 + (n-1)(5) é

${\displaystyle P_{50}=5^{50}\cdot {\frac {\Gamma \left(3/5+50\right)}{\Gamma \left(3/5\right)}}\approx 3.78438\times 10^{98}.}$

Desviación típica

A desviación típica dalgunha parte das progresións aritméticas pode calcularse mediante:

${\displaystyle \sigma =|d|{\sqrt {\frac {(n-1)(n+1)}{12}}}}$

onde ${\displaystyle n}$ é o número de termos da progresión e ${\displaystyle d}$ a diferenza entre os termos.

Véxase tamén

Bibliografía

• Sigler, Laurence E. (trans.) (2002). Fibonacci's Liber Abaci. Springer-Verlag. pp. 259–260. ISBN 0-387-95419-8. 

Outros artigos

• Progresión xeométrica