Théorème de Baire

Le théorème de Baire, dit aussi lemme de Baire, est un théorème de topologie dû au mathématicien René Baire.

Espaces de Baire

On dit qu'un espace topologique est un espace de Baire si toute intersection dénombrable d'ouverts denses est dense. De façon équivalente, un espace topologique est de Baire si toute union dénombrable de fermés d'intérieurs vides est d'intérieur vide, ou encore, si le seul ouvert maigre est le vide. Le lemme (ou théorème) de Baire donne des conditions suffisantes pour que certains espaces soient de Baire.

Énoncé du théorème de Baire

Le théorème de Baire est constitué de trois affirmations^{[Preuve 1]} :

1. Tout espace localement compact est de Baire. Par conséquent : un espace localement compact non vide n'est pas la réunion dénombrable de fermés d'intérieur vide ;
2. Tout espace complètement métrisable est de Baire ;
3. Tout ouvert d'un espace de Baire est de Baire (pour la topologie induite).

Un espace E est dit « complètement de Baire » si tout fermé de E est de Baire^[1]. Pour les espaces localement compacts et les espaces complètement métrisables, cette propriété supplémentaire est automatique.

Quelques applications

Analyse

• Analyse fonctionnelle :
  • théorèmes de l'application ouverte, du graphe fermé, de l'isomorphisme de Banach,
  • théorème de Banach-Steinhaus,
  • théorème de la limite simple de Baire,
  • théorème de Blumberg,
  • dans l'espace de Banach des fonctions continues sur [0, 1], le sous-ensemble des fonctions nulle part dérivables contient un G_δ dense ;
• Caractérisation des polynômes réels^{[2],[3],[4],[5],[6],[7]} : si f est une fonction C^∞ telle que ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \quad \exists n\in \mathbb {N} \quad f^{(n)}(x)=0}$, alors c'est un polynôme (on peut noter l'inversion de quantificateurs avec la caractérisation évidente ${\displaystyle \exists n\in \mathbb {N} \quad \forall x\in \mathbb {R} \quad f^{(n)}(x)=0}$).
  Plus généralement^[8],[9], il suffit de supposer que ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \quad \exists n\in \mathbb {N} \quad f^{(n)}(x)\in D}$, où D est un ensemble au plus dénombrable arbitraire.

Topologie

• Connexité du tipi de Cantor
• Théorème de superposition de Kolmogorov
• Tout espace métrique complet non vide et sans point isolé est infini non dénombrable^[10].
• Plus généralement, toute intersection dénombrable d'ouverts denses d'un espace de Baire séparé, non vide et sans point isolé est infinie non dénombrable^[11].
• Dans un espace de Banach de dimension infinie, toute base est non dénombrable (voir Espace vectoriel normé, § Complétude)^[12].

Preuve

1. Toutes trois démontrées par exemple dans le chapitre « Propriété de Baire » de la leçon « Topologie générale » sur Wikiversité. Pour le second point (également démontré dans Jacques Dixmier, Topologie générale, Paris, PUF, 1981, p. 66, 74 et Georges Skandalis, Topologie et Analyse, 3^e année, Paris, Dunod, 2004, p. 115), on utilise le théorème des fermés emboîtés.

Notes et références

1. (en) Vincent Kieftenbeld, Three Topics in Descriptive Set Theory, Denton, Texas, UNT, 2010 (lire en ligne), p. 24.
2. (es) F. Sunyer i Balaguer et E. Corominas, « Condiciones para que una función infinitamente derivable sea un polinomio », Rev. Mat. Hisp.-Amer., vol. 4, n^o 14,‎ 1954, p. 26-43.
3. (en) H. D. Brunk et R. P. Boas, « Necessary and Sufficient Condition for a Polynomial », Amer. Math. Monthly, vol. 66, n^o 7,‎ aug. - sep. 1959, p. 599 (lire en ligne).
4. (en) William F. Donoghue, Distributions and Fourier transforms, Academic Press, 1969, 2^e éd., 312 p. (ISBN 978-0-08-087344-2, lire en ligne), p. 53.
5. (en) Ralph P. Boas, Jr., A Primer of Real Functions, CUP, 1996 (lire en ligne), p. 67-68.
6. (en) « If […] then f coincides with a polynomial », sur MathOverflow.
7. Démontrée par exemple dans cet exercice corrigé de la leçon « Topologie générale » sur Wikiversité.
8. Hervé Queffélec et Claude Zuily, Analyse pour l'agrégation, Dunod, 2013, 4^e éd. (lire en ligne), p. 225 et 238.
9. (en) Boris Tsirelson (en), « Measure and category — 9a1 Theorem », sur Université de Tel Aviv, 2013.
10. Un tel espace contient même un sous-espace homéomorphe à l'espace de Baire ℕ^ω : voir « Ensemble parfait ».
11. Pierre Colmez, Éléments d’analyse et d’algèbre (et de théorie des nombres), Les Éditions de l’École Polytechnique, 2012, 2^e éd., corrigé de l'exercice 14.3 page 223.
12. La dimension d'un tel espace est égale à son cardinal en supposant l'hypothèse du continu, mais aussi sans cette hypothèse : (en) Lorenz Halbeisen et Norbert Hungerbühler (de), « The cardinality of Hamel bases of Banach spaces », East-West Journal of Mathematics, vol. 2,‎ 2000, p. 153-159 (lire en ligne).

Voir aussi

Liens externes

• Gilles Godefroy, texte sur le théorème
• BwataBaire, un wiki qui se propose de recenser diverses applications du lemme de Baire, et de réfléchir aux relations qu'il entretient avec des phénomènes similaires.
• (en) Brian S. Thomson, Andrew M. Bruckner et Judith B. Bruckner, Real Analysis, 2008, 2^e éd. (ISBN 978-1-43484412-5, lire en ligne) (aperçu sur Google Livres)

Articles connexes

Théorème d'Osgood (de)