Caractérisation (mathématiques)

En langage mathématique, la caractérisation d'un objet ${\displaystyle X}$ par une propriété ${\displaystyle P}$ signifie que d'une part ${\displaystyle X}$ vérifie ${\displaystyle P}$, d'autre part ${\displaystyle X}$ est le seul objet à vérifier ${\displaystyle P}$.

Caractériser un objet ${\displaystyle X}$, c'est en trouver une définition assez générale pour être vraie, mais assez précise pour ne pas englober d'autres objets. En d'autres termes, la propriété ${\displaystyle P}$ est nécessaire et suffisante :

${\displaystyle Y}$ vérifie ${\displaystyle P\iff Y=X}$

Exemples

• La fonction exponentielle est caractérisée comme l'unique fonction réelle qui vaut 1 en 0 et qui est égale à sa dérivée.
• Parmi les lois de probabilité sur l'intervalle [0, +∞[ de la droite réelle, sans mémoire caractérise les lois exponentielles. Cette affirmation signifie que les lois exponentielles sont les seules lois de probabilité à être sans mémoire.
• Selon le théorème de Bohr-Mollerup, parmi les fonctions f définies sur ]0, +∞[ telles que f(1) = 1 et x f(x) = f(x + 1) pour tout x > 0, la log-convexité caractérise la fonction gamma. Cela signifie que parmi ces fonctions f, la fonction gamma est la seule pour laquelle log ∘ f est une fonction convexe.
• Le cercle peut être caractérisé comme une variété à une dimension, compacte et connexe ; ici la caractérisation, en tant que variété lisse est à un difféomorphisme près.

Notes et références