En mathématiques, la fonction exponentielle est la fonction notée exp qui est égale à sa propre dérivée et prend la valeur 1 en 0. Elle est utilisée pour modéliser des phénomènes dans lesquels une différence constante sur la variable conduit à un rapport constant sur les images. Ces phénomènes sont en croissance dite « exponentielle ».
On note e la valeur de cette fonction en 1. Ce nombre e qui vaut approximativement 2,71828 s'appelle la base de la fonction exponentielle et permet une autre notation de la fonction exponentielle :
.
La fonction exponentielle est la seule fonction continue sur ℝ qui transforme une somme en produit et qui prend la valeur e en 1. C'est un cas particulier des fonctions de ce type appelées exponentielles de base a.
Ces diverses définitions permettent d'étendre la définition de la fonction exponentielle à des fonctions de vers ou même à des espaces plus compliqués et s'utilise alors en géométrie riemannienne, dans la théorie des groupes de Lie, ou encore dans l'étude des algèbres de Banach.
Les applications élémentaires des fonctions exponentielles réelles ou complexes concernent la résolution des équations différentielles, la mise en place de la théorie de Fourier… mais les champs d'applications des fonctions exponentielles sont extrêmement vastes : étude de la croissance des groupes, etc.
On appelle aussi parfois fonction exponentielle toute fonction dont l'expression est de la forme
Fonction exponentielle réelle
Définitions
Il existe plusieurs points d'entrée possibles pour la définition de la fonction exponentielle : par la propriété de sa dérivée (la dérivée est égale à la fonction), par ses propriétés algébriques (elle transforme une somme en produit), ou par son développement en série.
Courbe d'équation y = exp(x) et quelques sous-tangentes.
Définition — On appelle fonction exponentielle l'unique fonction dérivable solution du problème de Cauchy suivant :
.
Cette propriété d'être sa propre dérivée se traduit par une propriété sur la sous-tangente à la courbe représentative de exp. La sous-tangente, c'est-à-dire la distance qui sépare le réel x de l'abscisse du point d'intersection de la tangente à la courbe au point d'abscisse x avec l'axe des x, est constante et vaut 1. On montre de plus que f ne s'annule jamais.
Démonstration
Il existe une fonction f solution du problème de Cauchy : Cette existence est garantie par le théorème de Cauchy-Lipschitz. Les sections suivantes en fournissent trois autres preuves (à partir de la fonction logarithme, de l'équation fonctionnelle, ou comme série entière). En voici une cinquième : la méthode d'Euler. L'approximation affine de la fonction f montre que, pour h petit, est voisin de , c'est-à-dire de . On écrit l'égalité ; on pose et . En appliquant l'approximation affine une première fois, on obtient que est voisin de . En appliquant cette approximation n fois en tout, on conclut que f(x) est voisin de . Si l'on note exp cette fonction, ce processus de construction conduit à définir exp(x) par(en particulier, exp(0) = 1). Avec cette méthode, il reste à démontrer que la suite (un(x)) a bien une limite pour tout x et que la fonction que l'on obtient est bien dérivable et égale à sa dérivée[1].
Une telle fonction f est unique et ne s'annule jamais : Ces deux propriétés sont, elles aussi, garanties par le théorème de Cauchy-Lipschitz. Une preuve plus spécifique (utilisant l'existence de f) est donnée dans le § « Par une équation différentielle » de l'article sur l'exponentielle de base quelconque.
La sous-tangente est constante La tangente au point d'abscisse x a pour équation Y = exp(x)(X – x) + exp(x) et coupe l'axe des abscisses pour X vérifiant l'équation
En effet, la fonction logarithme népérien étant continue strictement croissante sur son ensemble de définition, et de limites infinies aux bornes, elle définit une bijection de sur ℝ. Sa réciproque est une fonction f définie sur vérifiant car . La fonction ln étant dérivable et de dérivée non nulle, sa réciproque est une fonction dérivable et, pour tout réel x,
La propriété algébrique de la fonction exponentielle (fonction continue non nulle transformant une somme en produit) est partagée par un ensemble de fonctions qui portent aussi le nom de fonctions exponentielles. Elles sont entièrement déterminées dès que l'on a précisé leur valeur en 1 qui doit être un réel strictement positif. La fonction qui prend la valeur a en 1 est alors appelée fonction exponentielle de base a. On peut ainsi considérer que la fonction exponentielle est la fonction exponentielle de base e.
Définition — La fonction exp est l'unique fonction continue de ℝ dans ℝ* transformant une somme en produit, c'est-à-dire vérifiant l'équation fonctionnelle
Il est possible de s'affranchir de la nécessité de connaître au préalable e par la caractérisation suivante:
Caractérisation — La fonction exp est l'unique fonction dérivable de ℝ dans ℝ* transformant une somme en produit, c'est-à-dire vérifiant l'équation fonctionnelle
et dont la dérivée prend la valeur 1 en 0.
On s'inspire de l'égalité
pour tous entiers q > 0 et p
pour introduire une nouvelle notation pour la fonction exp :
pour tout réel x.
Toutes les fonctions exponentielles de base a s'expriment à l'aide de la fonction exp et de la fonction logarithme népérien :
Par une série
La fonction exponentielle et son approximation autour de zéro par les premiers termes de la série.
Enfin, en appliquant la méthode de recherche de solutions analytiques des équations différentielles linéaires, on peut définir l'application exponentielle exp ou encore x ↦ ex comme la somme d'une série entière de rayon de convergence infini :
quel que soit l'entier natureln. Par changement de variable, on en déduit
La croissance de exp peut se déduire de la positivité de sa dérivée exp. De même, puisque sa dérivée secondeexp est strictement positive, la fonction exp est strictement convexe.
On en déduit que pour tout réel et tout rationnel ,
Pour irrationnel, cette équation peut tenir lieu de définition, c'est-à-dire que l'une des façons de définir l'exponentielle de base a est de poser, pour tous réels et :
Généralisation à d'autres ensembles
Dans le plan complexe
Définitions
On peut définir la fonction exp complexe de deux façons :
En utilisant la propriété :,on écrit où a et b sont des nombres réels. La fonction exponentielle complexe s'exprime donc à l'aide de la fonction exponentielle réelle et des fonctions trigonométriques.
Ces formules se démontrent à l'aide des formules de trigonométrie ou à l'aide de la notion de produit de Cauchy de deux séries, selon le mode de définition de l'exponentielle.
L'exponentielle plus générale : pour tous nombres complexes z et w,
est alors aussi une fonction multiforme. Les propriétés ci-dessus des exponentielles restent vraies à condition de les interpréter convenablement comme des relations entre fonctions multiformes.
La fonction exponentielle complexe transforme l'axe imaginaire pur en le cercle unité. C'est la fonction que l'on utilise pour montrer que la droite réelle est un revêtement du cercle unité.
Représentations
Si on peut représenter graphiquement, dans l'espace, les fonctions , , et
Surfaces représentant la partie réelle, la partie imaginaire, le module et l'argument principal de l'exponentielle complexe
Courbe de densité représentant la partie réelle et la partie imaginaire de l'exponentielle complexe
Pour d'autres représentations de l'exponentielle complexe, se référer à
La définition de l'exponentielle comme un morphisme continu d'un groupe additif vers un groupe multiplicatif permet de définir une fonction exponentielle de ℝ vers tout groupe topologique. Plus généralement, pour un groupe topologique G, on appelle sous-groupe à un paramètre tout morphisme continu ℝ → G. Certains ouvrages peuvent remplacer l'hypothèse de continuité par la mesurabilité.
L'importance majeure des fonctions exponentielles en sciences, provient du fait qu'elles sont proportionnelles à leur propre dérivée. a étant un nombre réel ou complexe, on a :
ou plus exactement, la fonction est l'unique solution de l'équation fonctionnelle
Si une grandeur croît ou décroît, en fonction du temps et que la vitesse de «sa course» est proportionnelle à «sa taille», comme dans le cas de la croissance d'une population, des intérêts composés continus ou de la décroissance radioactive, alors cette grandeur peut être exprimée comme une constante fois une fonction exponentielle du temps.
La fonction exponentielle de base e est solution de l'équation différentielle élémentaire :
et on la rencontre fréquemment dans les solutions d'équations différentielles. En particulier, les solutions d'une équation différentielle linéaire peuvent être écrites à l'aide des fonctions exponentielles. On les trouve aussi dans les solutions des équations différentielles de Schrödinger, de Laplace ou dans l'équation différentielle du mouvement harmonique simple.
La fonction exponentielle est d'une utilité capitale en trigonométrie. Les formules d'Euler (que l'on démontre à partir de la définition exp(i z) = cos z+ i sin z) nous donnent un lien direct entre les fonctions cosinus et sinus, réelles ou non, et la fonction exponentielle complexe.
La fonction exponentielle trouve aussi son utilité quand on veut démontrer la formule de Moivre.
Fonction exponentielle et trigonométrie hyperbolique
À partir de la fonction exponentielle, on peut définir les fonctions de trigonométrie hyperbolique, définissant les fonctions hyperboliquescosinus hyperbolique, cosh et sinus hyperbolique, sinh, utilisées en partie dans les résolutions des équations différentielles de second ordre.
Les fonctions exponentielles où t est un réel et k un entier relatif sont utilisées dans la théorie de Fourier. Elles permettent d'exprimer toute fonction périodique comme somme de fonctions trigonométriques, ce sont les séries de Fourier. Elles permettent aussi de définir la transformée de Fourier d'une fonction de carré sommable.
↑Jean-Pierre Provost et Gérard Vallée, Les maths en physique : La physique à travers le filtre des mathématiques, Paris, Éditions Dunod, coll. « Sciences Sup », , 1re éd., 331 p. (ISBN2-10-004652-7), p. 7.