Tonnelierter Raum

Tonnelierte Räume sind spezielle lokalkonvexe Vektorräume, in denen der Satz von Banach-Steinhaus gilt. Diese Räume lassen sich durch ihre Nullumgebungsbasen charakterisieren.

Motivation

Eine Tonne ist eine Teilmenge T eines lokalkonvexen K-Vektorraums E mit folgenden drei Eigenschaften

• T ist absolutkonvex, d. h. für ${\displaystyle x,y\in T}$ und ${\displaystyle \lambda ,\mu \in K}$ mit ${\displaystyle |\lambda |+|\mu |\leq 1}$ gilt ${\displaystyle \lambda x+\mu y\in T}$.
• T ist abgeschlossen in der Topologie auf E.
• T ist absorbierend, d. h. zu jedem ${\displaystyle x\in E}$ gibt es ein ${\displaystyle \lambda \in K}$ mit ${\displaystyle x\in \lambda T}$.

Leicht zeigt man, dass jeder lokalkonvexe Raum eine Nullumgebungsbasis aus Tonnen besitzt. Ist umgekehrt jede Tonne eine Nullumgebung, so nennt man den Raum tonneliert. Diese Bezeichnung geht auf Bourbaki zurück (französisch tonnelé, englisch barrelled).

Beispiele

• Jeder Fréchet-Raum (insbesondere also jeder Banachraum) ist tonneliert. Ist nämlich T eine Tonne im Fréchet-Raum E, so gilt ${\displaystyle E=\bigcup _{n\in {\mathbb {N} }}nT}$, da T absorbierend ist. Weil T abgeschlossen ist, folgt aus dem Satz von Baire, dass ein nT und damit T einen inneren Punkt hat. Aus der Absolutkonvexheit von T ergibt sich nun leicht, dass T eine Nullumgebung ist.

• Ist E ein Fréchet-Raum ungleich {0}, so ist ${\displaystyle \prod _{r\in {\mathbb {R} }}E}$ mit der Produkttopologie ein Beispiel für einen tonnelierten Raum, der nicht Fréchet-Raum ist.

Vererbungseigenschaften

Quotientenräume nach abgeschlossenen Teilräumen, Produkträume und induktive Limiten tonnelierter Räume sind wieder tonneliert.

Die Tonneliertheit vererbt sich im Allgemeinen nicht auf abgeschlossene Unterräume oder projektive Limiten.

Der Satz von Banach-Steinhaus

Eine Menge B in einem lokalkonvexen Raum E heißt bekanntlich beschränkt, wenn sie von jeder Nullumgebung absorbiert wird, d. h. zu jeder Nullumgebung U von E gibt es ein ${\displaystyle \lambda >0}$ mit ${\displaystyle B\subset \lambda U}$. Eine Familie ${\displaystyle (T_{\alpha })_{\alpha \in I}}$ stetiger linearer Operatoren zwischen lokalkonvexen Vektorräumen E und F heißt gleichgradig stetig, wenn es zu jeder Nullumgebung V in F eine Nullumgebung U in E gibt, so dass ${\displaystyle T_{\alpha }(U)\subset V}$ für alle ${\displaystyle \alpha \in I}$. Der folgende Satz kennzeichnet die tonnelierten Räume als diejenigen, in denen der Satz von Banach-Steinhaus gilt:

Für einen lokalkonvexen Raum E sind äquivalent:

• E ist ein tonnelierter Raum.
• Ist F ein weiterer lokalkonvexer Raum und ${\displaystyle (T_{\alpha })_{\alpha \in I}}$ eine Familie stetiger linearer Operatoren ${\displaystyle E\rightarrow F}$, die punktweise beschränkt ist (d. h. für jedes ${\displaystyle x\in E}$ ist ${\displaystyle \{T_{\alpha }(x);\alpha \in I\}}$ beschränkt), so ist ${\displaystyle (T_{\alpha })_{\alpha \in I}}$ gleichgradig stetig.

Beziehung zur Reflexivität

Ist E ein lokalkonvexer Vektorraum, so definiert jede beschränkte Menge B in E eine Halbnorm ${\displaystyle P_{B}}$ auf dem Dualraum ${\displaystyle E\,'}$, indem man ${\displaystyle p_{B}(f):=\sup\{|f(x)|;x\in B\}}$ setzt. Versehen mit der Menge der Halbnormen ${\displaystyle p_{B}}$, wobei B die beschränkten Mengen von E durchläuft, wird ${\displaystyle E\,'}$ zu einem lokalkonvexen Vektorraum, den man dann mit ${\displaystyle E_{b}'}$ bezeichnet. Dies verallgemeinert die Dualraumbildung bei normierten Räumen. Wie dort hat man eine natürliche Einbettung ${\displaystyle J:E\rightarrow (E_{b}')_{b}',(J(x))(f):=f(x)}$, und wie üblich identifiziert man E mit J(E), so dass E als Unterraum des Biduals ${\displaystyle (E_{b}')_{b}'}$ aufgefasst werden kann. Ist J surjektiv, so nennt man E halbreflexiv. Dann stimmen E und ${\displaystyle (E_{b}')_{b}'}$ zwar als Mengen überein, aber im Allgemeinen sind die lokalkonvexen Topologien auf E und dem Bidual ${\displaystyle (E_{b}')_{b}'}$ verschieden. Stimmen auch die Topologien überein, so nennt man E reflexiv. Die Tonneliertheit ist genau die Eigenschaft, die einem halbreflexiven Raum zur Reflexivität fehlt, denn es gilt:

Für einen lokalkonvexen Raum E sind äquivalent:

• E ist reflexiv.
• E ist halbreflexiv und tonneliert.

Quasitonnelierte Räume

Man nennt eine Menge T in einem lokalkonvexen Raum bornivor, wenn sie jede beschränkte Menge absorbiert, d. h. wenn es zu jeder beschränkten Menge B ein ${\displaystyle \lambda \in K}$ mit ${\displaystyle B\subset \lambda T}$ gibt. (Zur Wortherkunft vergleiche carnivor oder herbivor.)

Ein Raum heißt quasitonneliert, wenn jede bornivore Tonne eine Nullumgebung ist. Offensichtlich handelt es sich um eine Abschwächung der Tonneliertheit. Bornologische Räume sind quasitonneliert. Folgenvollständige quasitonnelierte Räume sind bereits tonneliert, wie aus dem Satz von Banach-Mackey folgt.

Die Quasitonneliertheit ist bei obiger Charakterisierung der Reflexivität ausreichend, denn für einen lokalkonvexen Raum E sind äquivalent:

• E ist reflexiv
• E ist halbreflexiv und tonneliert.
• E ist halbreflexiv und quasitonneliert.

Quellen

• Klaus Floret, Joseph Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume (= Lecture Notes in Mathematics. Bd. 56, ISSN 0075-8434). Springer, Berlin u. a. 1968, doi:10.1007/BFb0098549.
• Reinhold Meise, Dietmar Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis (= Vieweg-Studium 62 Aufbaukurs Mathematik). Vieweg, Braunschweig u. a. 1992, ISBN 3-528-07262-8.