أثر (جبر خطي)

في الجبر الخطي، أثر مصفوفة مربعة A (بالإنجليزية: Trace of matrix)‏ هو مجموع مداخل المصفوفة الواقعة على القطر الرئيسي (القطر الممتد من العنصر الأعلى يسارا إلى العنصر الأسفل يمينا).^[1]

${\displaystyle \mathrm {tr} (A)=a_{11}+a_{22}+\dots +a_{nn}=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}\,}$

حيث a_ii تمثل المدخل على الصف i والعمود i للمصفوفة A. أثر المصفوفة هو مجموع قيمها الذاتية، حقيقية كانت أم عقدية. أثر مصفوفة لا يتغير بتغيير القاعدة، صانعًا منها لامتباينا.

مثال

ليكن T عاملا خطيا ممثلا بالمصفوفة التالية:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}-2&2&-3\\-1&1&3\\2&0&-1\end{bmatrix}}.}$

فإن tr(T) = −2 + 1 − 1 = −2.

يكون أثر مصفوفة الوحدة هو بعد الفضاء; وهذا يقود إلى تعميم البعد باستعمال الأثر. يكون أثر المسار (أي P² = P) هو ترتيب المسار. يكون أثر مصفوفة نيلبوتنت صفرا.

بشكل عام، إذا كانت f(x) = (x − λ₁)^d₁···(x − λ_k)^d_kهي مميز كثيرة الحدود للمصفوفة A, فإن

${\displaystyle \mathrm {tr} (A)=d_{1}\lambda _{1}+\cdots +d_{k}\lambda _{k}.\!}$

خصائص

خصائص أساسية

${\displaystyle \operatorname {tr} (A+B)=\operatorname {tr} (A)+\operatorname {tr} (B)}$,

${\displaystyle \operatorname {tr} (cA)=c\operatorname {tr} (A)}$.

انظر إلى منقولة مصفوفة.

${\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\operatorname {tr} (A^{\mathrm {T} })}$.

أثر جداء مصفوفتين

${\displaystyle \operatorname {tr} (X^{\mathrm {T} }Y)=\operatorname {tr} (XY^{\mathrm {T} })=\operatorname {tr} (Y^{\mathrm {T} }X)=\operatorname {tr} (YX^{\mathrm {T} })=\sum _{i,j}X_{ij}Y_{ij}}$.

جبر لي

انظر إلى جبر لي.

انظر أيضا

• دالة مميزة (نظرية احتمالات)

مراجع

1. p. II.158. D'autres auteurs la notent tr(A) ou trace(A). نسخة محفوظة 16 ديسمبر 2019 على موقع واي باك مشين.

وصلات خارجية