ثلاث مستويات تتقاطع عند نقطة المرجع وكل منها يمكن ان يتم تمثيله بمصفوفة مربعة ذات بعدين. في الجبر الخطي ، يقال عن مصفوفة مربعة A أنها قابلة للعكس (بالإنجليزية : Invertible matrix ) إذا وُجدت مصفوفة مربعة B حيث:
A
B
=
B
A
=
I
n
{\displaystyle \mathbf {AB} =\mathbf {BA} =\mathbf {I} _{n}\ }
حيث I n مصفوفة الوحدة وحيث الجداء المشار إليه في هذه الصيغة هو جداء المصفوفات الاعتيادي.[ 1] [ 2] [ 3]
معكوس مصفوفة هو المعكوس الضربى لها حيث يساوي حاصل ضرب المصفوفة في معكوسها مصفوفة الوحدة .[ 4] [ 5] A A −1 A B
تكون مصفوفة ما قابلةً للعكس إذا وفقط إذا كانت محددتها تختلف عن الصفر. وبذلك، تكون غير قابلة للعكس إذا وفقط إذا كانت محددتها تساوي الصفر. قد تسمى مصفوفة الحالة الثانية بالمصفوفة الشاذة [بحاجة لمصدر ] شبه عكس المصفوفة .
تُشكل مجموعة المصفوفات القابلة للعكس ذات البُعد n × n حقيقية ، أي تنتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية) زمرة تسمى زمرة خطية عامة من الدرجة n. يرمز لهذه الزمرة ب GLn R ) .
لتكن A مصفوفة بُعدها هو n*n عرفت على حقل K (مجموعة الأعداد الحقيقية مثالا). النصوص التالية متكافئة مع بعضها البعض. أي أنهن بالنسبة لمصفوفة ما، جميعهن خاطئات أو جميعهن صحيحات.
المصفوفة A قابلة للعكس،
لا حلول للمعادلة Ax = 0 غير الحل البديهي 0.
أعمدة المصفوفة A مستقلة خطيا .
A T المصفوفة المنقولة للمصفوفة A، هي مصفوفة قابلة للعكس. هذا يجعل صفوف المصفوفة A مستقلة خطيا أيضا كما هن أعمدتها.
معكوس حاصل ضرب مصفوفتين غير شاذتين يساوى حاصل ضرب معكوس كل من المصفوفتين
معكوس منقولة مصفوفة يساوى منقولة معكوس المصفوفة :
(
A
T
)
− − -->
1
=
(
A
− − -->
1
)
T
{\displaystyle (\mathbf {A} ^{T})^{-1}=(\mathbf {A} ^{-1})^{T}\ }
لتكن المصفوفة التالية ذات البُعد الثاني:
A
=
(
− − -->
1
3
2
1
− − -->
1
)
.
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}-1&{\tfrac {3}{2}}\\1&-1\end{pmatrix}}.}
هذه المصفوفة قابلة للعكس لكون محددها مختلفا عن الصفر.
det
A
=
(
− − -->
1
∗ ∗ -->
− − -->
1
)
− − -->
(
3
/
2
∗ ∗ -->
1
)
=
− − -->
1
/
2
{\displaystyle \det \mathbf {A} =(-1*-1)-(3/2*1)=-1/2}
المصفوفة التالية غير قابلة للعكس لأن محددها يساوي الصفر:
B
=
(
− − -->
1
3
2
2
3
− − -->
1
)
.
{\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}-1&{\tfrac {3}{2}}\\{\tfrac {2}{3}}&-1\end{pmatrix}}.}
كيا يظهر فيما يلي
det
B
=
(
− − -->
1
∗ ∗ -->
− − -->
1
)
− − -->
(
3
/
2
∗ ∗ -->
2
/
3
)
=
0
{\displaystyle \det \mathbf {B} =(-1*-1)-(3/2*2/3)=0}
لحساب معكوس المصفوفة، هناك عدة طرق. أكثرها بساطة موصوف بالخوارزمية التالية:
المدخل: مصفوفة (A(n*n.
المخرج: A −1
نوسع المصفوفة ِA بإضافة دالة الوحدة عن يمينها
نبدا بالسطر الأخير للدالة A يجب أن نقوم بعمليات أساسية على السطر بحيث يصبح بالشكل التالي :(0001...0)
نقوم بما فعلناه من عمليات أساسية بنفس الترتيب على دالة الوحدة
نقوم بهذا لكل سطر بحيث يجب علينا القيام بالعمليات الأساسية حتى نحصل على المتجه المناسب أي : ان كنا في السطر i يجب
ان نجعل السطر ال-i بالشكل التالي: (000...0001...0)أي ان 1 يجب أن يكون في الخانة i
وبالقيام بما فعلناه في السطر ال-i على مصفوفة الوحدة نحصل في مصفوفة الوحدة على المصفوفة العكسية بينما في ِA على مصفوفة الوحدة
ان تعذر القيام بذلك فذلك يعني ان للمصفوفة لا يوجد معكوس.
حساب محددة المصفوفة والتأكد أنه لا يساوى صفر
حساب المصفوفة المرتبطة
حساب المعكوس
يمكن إيجاد معكوس المصفوفة من القانون التالي:
A
− − -->
1
=
a
d
j
(
A
)
|
A
|
{\displaystyle A^{-1}={\frac {adj(A)}{|A|}}}
حيث يشير |A| إلى محددة المصفوفة و
a
d
j
(
A
)
{\displaystyle {adj(A)}}
المصفوفة المرتبطة .
حذف غاوس-جوردان هو خوارزمية تمكن أن تستعمل من أجل تحديد ما إذا كانت مصفوفة ما قابلة للعكس أم لا ومن أجل تحديد هذا العكس إ.ذا كان موجودا.
انظر إلى طريقة نيوتن
انظر إلى مبرهنة كايلي-هاميلتون
