亨德里克·安东·洛伦兹1853年7月18日生于阿纳姆。他的祖先来自德国莱茵兰地区,大多务农。父亲赫里特·弗雷德里克·洛伦兹(Gerrit Frederik Lorentz,1822-1893)在海尔德兰省费尔普(Velp)拥有一片水果苗圃。母亲海特勒伊达·范·欣克尔(Geertruida van Ginkel,1826-1861)在乌得勒支省的伦斯沃德长大。在嫁给洛伦兹父亲前,她曾守过三年寡。夫妇二人育有三子,但两子早夭。洛伦兹是和母亲与前夫的儿子扬·亨德里克·雅各布一起长大的。在洛伦兹母亲去世一年之后,父亲与吕贝塔·许普克斯(Luberta Hupkes,1819/1820-1897)再婚。[2]
六岁时,洛伦兹开始在当地的蒂默小学学习。在学期间,幼年的洛伦兹在赫尔特·科内里斯·蒂默(曾写几过本物理学教材与科普读物)的指导下学习了基础的数学与物理学。1866年,这位未来的科学家通过了阿纳姆高等中学(Hogereburgerschool)的入学考试。一批优秀的教师,特别是H·范德斯塔特(H. van der Stadt,曾写过多部著名的物理学著作)与雅各布·马丁·范·贝梅莱纳(Jacob Martin van Bemmelena),对于他的学业助益颇深。洛伦兹本人后来也承认他对于物理学的热爱正是范德斯塔特不断灌输的结果。他在这所学校遇到的另外一个重要的人是后来也成为物理学家的赫尔曼·哈加(Herman Haga)。他们是同班同学并且是一生的挚友。除了自然科学外,洛伦兹还对历史感兴趣。他读过大量荷兰和英国历史的著作,并且非常喜欢历史小说。他非常爱读沃尔特·司各特、威廉·梅克比斯·薩克雷以及查尔斯·狄更斯这些英国文学家的作品。记忆力出众的洛伦兹还掌握英语、法语、德语等多国语言,特别是在读大学前,他还自学了希腊语与拉丁语。不过洛伦兹并不善于交际。腼腆的他即使是在亲戚面前也不善言辞。而他对于神秘主义也并不感兴趣。他的女儿后来这样说道:“(洛伦兹)放弃了对于上帝恩典的信赖……他将对于宗教的信念……转化为对于理性的至高价值的信仰。”[3]
初涉科学界(1870-1877)
1870年,洛伦兹考入荷兰最古老的学府,莱顿大学。 洛伦兹在这里接受过物理学家彼得·赖克(Pieter Rijke)以及数学家彼得·范·海尔(Pieter van Geer)等人的教导。而与洛伦兹关系最为亲密的老师是天文学家弗雷德里克·凯泽(Frederik Kaiser)。范德斯塔特曾是凯泽的学生。凯泽也是通过他认识了洛伦兹。洛伦兹也是在读大学时接触到了詹姆斯·克拉克·麦克斯韦所做的基础工作。赫尔曼·冯·亥姆霍兹、奥古斯丁·菲涅耳以及迈克尔·法拉第等人的工作对于洛伦兹理解麦克斯韦的工作帮助很大。1871年,洛伦兹通过了硕士学位的考试。次年二月,洛伦兹离开莱顿,回到阿纳姆准备博士入学考试。他在夜校以及阿纳姆当地的蒂默学院教授数学。这份工作令他有充足的时间研究科学。[4]洛伦兹研究的重点是麦克斯韦的电磁学理论。除此之外,他还利用学校的实验室进行了一系列光学与电磁学实验。洛伦兹曾试图通过研究莱顿瓶的放电过程来证明电磁波存在,但未获得成功。洛伦兹后来这样回忆道:“(研究麦克斯韦的电磁学专著)可能是我一生中最重要的经历。将光解释为电磁现象可能是我所知道的最为大胆的设想。这位科学家可能并没有得到最终的表述。它并不完整,也不能给出许多问题的答案。”[5]
洛伦兹1873年通过了博士入学考试[6],并於1875年12月11日对他的博士论文《论光反射与折射的理论》(Over de theorie der terugkaatsing en breking the van of het are licht)进行了答辩。他在这篇论文中基于麦克斯韦理论给出了这两种过程的解释。在完成论文答辩后,洛伦兹回到了阿纳姆,继续之前的教学工作。1876年夏,他与友人一起去瑞士旅行。此时洛伦兹面对着是否转向研究数学的抉择。他在阿纳姆的学校的教学效果不错,并且乌得勒支大学此时也邀请他担任数学教授。然而,洛伦兹还是想要回母校任职。他婉拒了乌得勒支大学的邀请,并在莱顿当地的一所高中谋得了一份临时工作。不久,莱顿大学发生了一个重大变故:物理系分为了两部分,理论物理学与实验物理学。莱顿大学起初邀请约翰内斯·范德瓦耳斯担任理论物理学教授。在范德瓦耳斯拒绝后,洛伦兹接受了委任。[7]这是荷兰国内首个(在欧洲也是首批)理论物理学教授职位。而洛伦兹的工作也促进理论物理学成为一门独立学科。[6]
1880年夏,洛伦兹结识了凯泽教授的侄女阿莱塔·卡塔里娜·凯泽(Aletta Catharina Kaiser,1858-1931)。他们在那个夏天订婚,并在翌年初成婚。[10]1885年,他们的女儿海特勒伊达·德哈斯-洛伦兹(Geertruida de Haas-Lorentz)出生。次女约翰娜·威廉明娜、早夭的长子以及次子鲁道夫相继於1889年、1893年与1895年诞生。[11]长女后来成为洛伦兹的学生研究物理学与数学,并嫁给了昂内斯的学生,万德·约翰内斯·德哈斯[12]。
随着年龄的增长,洛伦兹也开始在社交活动上,特别是在教育问题以及国际科学合作方面,付出了更大精力。他在海牙创办了学校并在莱顿组织了首批免费图书馆与阅读室。他还是索尔维基金会的经理人之一,组建了国际物理研究所,并成立委员会向各国的研究者拨款。[21]在1913年的一篇文章中,洛伦兹这样写道:“每个人都认识到了合作以及对共同目标的追求最终会产生互敬、团结的友好关系。而这也将促进和平。”但不久后到来的一战在很长的一段时期内扰乱了交战国的科学家之间的交流。作为中立国公民的洛伦兹也在尽全力化解分歧,恢复各国研究者以及研究机构间的合作。而在进入战后组建的国际研究理事会后,洛伦兹和他的支持者试着去打破组织章程中歧视战败国的条款。1923年,洛伦兹加入由国际联盟组建的旨在加强欧洲国家间科学合作的国际智力合作委员会(International Committee on Intellectual Cooperation),并在之后不久接替亨利·柏格森成为委员会主席。[22]
1918年,洛伦兹成为须德海工程(Zuiderzeewerken)委员会主席。他在余生中为此项工程付出了大量的精力,有时还会亲自参与工程计算。这些计算涉及诸多因素,需要理论物理学中诸多的数学方法。首座大坝始建于1920年,直到洛伦兹逝世多年后才完工。[23]1919年,对于教学有浓厚兴趣的洛伦兹开始负责公共教育。1921年,他成为荷兰高等教育部部长。次年,洛伦兹受到加州理工学院的邀请,二度出访美国,并在多地做了演讲。之后,他又在1924年秋以及1926年冬两次造访帕萨迪纳。[24]1923年,洛伦兹退休,但仍会在每周一做惯例的讲座。1925年,莱顿举办了洛伦兹博士论文答辩50周年的纪念仪式。两千多人从世界各地赶来出席这次活动,其中包括杰出的物理学家、荷兰政府代表以及洛伦兹的学生与友人。威廉明娜女王的丈夫亨德里克亲王授予洛伦兹荷兰至高荣誉,大十字奥伦治-拿骚勋章(Orde van Oranje-Nassau)。荷兰皇家艺术与科学学院宣布创办勞侖茲獎章,以奖励对于理论物理学做出重要贡献的科学家。[25]
在给出光传播的普遍规律后,洛伦兹又通过分子学说对物质特定的光学性质做了研究。首个分析结果1879年在论文《论光的传播速度与介质密度及组成的关系》(Over het verband tusschen de voortplantingssnelheid van het licht en de dichtheid en samenstelling der middenstoffen)中发表。洛伦兹研究了自由空间中均一且受激电偶极矩与外电场电势成正比的介质,给出了其折射率与密度的关系为。丹麦物理学家路德维希·洛伦茨(Ludvig Lorenz)曾在1869年基于光弹性理论给出此式。这个方程现在叫作“洛伦兹-洛伦茨方程”[b]。洛伦兹的推导过程的一个要点是在外电场之外,还考虑到由于物质极化而产生的定域场。为了达到这个目的,他假设分子都在以太的空穴里,并且会受到其他空穴的影响。右侧的常数既与物质极化性有关,又与光的波长有关(也就是说这个常数可以反映物质的色散性质)。这个结果与此前基于光弹性理论得到的结果相同。洛伦兹通过计算还得出分子中存在电荷。电荷会受外电场影响在平衡位置附近振动。这种带电谐振子正是后来的电子理论的基础。[36][37][38]
洛伦兹的电子理论将物质中离散的电荷作为其主要组分,进而阐释麦克斯韦的电磁理论。与运动电荷的相互作用是物质电磁性质以及光学性质的本源。在金属中,电荷的运动会产生电流。电介质粒子离开平衡位置的话则会令物质发生电极化。物质的介电常数也来源于此。洛伦兹在《麦克斯韦电磁理论及其在运动物体中的应用》(La théorie électromagnétique de Maxwell et son application aux corps mouvants,1892)中首次阐述了电子理论。他在其中还给出了电磁场对运动电荷作用力的一种简单形式,洛伦兹力。随后,洛伦兹又进一步完善这一理论,结果发表于《对于运动物体中电学理论以及光学现象的几种尝试》(Versuch einer Theorie der electrischen und optischen Erscheinungen in bewegten Körpern,1895)以及1909年出版的专著《电子理论及其在光学现象以及热辐射中的应用》(The theory of electrons and its applications to the phenomena of light and radiant heat)中。洛伦兹在这部专著中对于电子理论做了最为详尽的叙述。与1892年以与力学原理的关系为基础不同的是,洛伦兹此时是以真空(以太)中宏观的麦克斯韦方程组以及其他唯象方程为出发点,研究了物质电磁作用的微观机制。在他看来,这种机制与组成物质的微小粒子(电子)的运动有关。洛伦兹首先假设了电子的大小以及粒子里外部都存在以太,然后在方程中引入真空因素来描述电子分布与运动,随后又引入洛伦兹力来进一步完善微观方程。这个方程组是电子理论的基础,并且可以用统一的方式描述大量现象。[40]
通过将理论运用於多种物理情境,洛伦兹得到了几个重要结果。在提出电子理论之初,他得到了库伦定律以及电磁感应定律在作用于通电导体时的表述。而在推导洛伦兹-洛伦茨方程过程中,他还引入了“洛伦兹球”的概念。为了分别计算内外电场,洛伦兹构造了一个包围分子的假想球面,进而引入以此球面作为边界与极化强度有关的定域场。[50]在论文《论离子电荷与质量引起的光学现象》(Optische verschijnselen die met de lading en de massa der ionen in verband staan,1898)中,洛伦兹利用经典电子理论给出了与现代相近的光色散理论。他的基本思路是,不同波长的光的传播路径出现不同来源于它们与振动的离散电荷(也就是洛伦兹所说的“离子”)的相互作用。他先写出了电子的运动方程,其中电磁场对于电子的作用力会反过来产生电子对其的弹力与摩擦力,进而导致光被吸收。洛伦兹由此得到了色散方程。在这个方程中,介电常数与波长服从洛伦兹分布。[51]
洛伦兹后来又进一步通过电子理论发展了运动介质中的光学。1892年,他分别研究了完全静止以及拖拽系数为且可以完全渗透物质的以太裏,运动物体的反射与双折射现象。洛伦兹通过此项研究彻底摒弃了空气可以拖动的以太。他通过一个一阶系数(为地球与以太的相对速度,是光速)解释了为什么光学实验中探测不到地球与以太的相对运动(“以太风”)。不过1887年进行的迈克尔逊-莫雷实验却得到应该是以一个二阶系数来描述。为了解释这个实验结果,洛伦兹在论文《地球与以太的相对运动》(De relative beweging van de aarde en den aether,1892)中提出了物体会在其运动方向上发生长度收缩的假说[c]。爱尔兰物理学家乔治·斐兹杰惹也曾于1889年提出了类似的假设(洛伦兹本人并不知道)。因而这个假设现在叫作“洛伦兹-斐兹杰惹收缩”。洛伦兹认为这一现象来源于分子间作用力在物体穿过以太时发生的变化,本质上也就是在说分子间作用力起源自电磁作用。[65]
在解释运动物体的电动力学问题时,洛伦兹一直想要为以太与有质量的物质划定明确的界限,并拒绝对以太的力学性质再做任何假设[71]。爱因斯坦后来在1920年这样评论道[72][73]:“至于洛伦兹以太的力学性质,人们可以带点诙谐地说,洛伦兹给它留下的唯一的力学性质就是不动性。不妨补充一句,狭义相对论带给以太概念的全部变革,就在于它取消了以太的这个最后的力学性质,即不动性。”洛伦兹在狭义相对论出现前做的最后一项工作发表在论文《运动速度低于光速的系统中的电磁现象》(Electromagnetische verschijnselen in een stelsel dat zich met wille-keurige snelheid, kleiner dan die van het licht, beweegt.,1904)中。洛伦兹在这篇论文中对其理论再做修正。当时的理论尚不能说明是否可以忽略地球运动对於任意阶的实验的影响,以及一些新的实验(比如1902年与1904年的瑞利-布雷斯实验)的结果。基于电子理论的基本方程、长度收缩假说以及局部时假说,洛伦兹提出方程的形式在同一直线上运动的参考系中保持不变。也就是说,运动参考系中表述电磁场的矢量在经过特定变换后保持不变。但这种不变性对于电磁理论中的二阶方程却并不适用。[d]亨利·庞加莱在同一年补上了这个短板,并将最后的变换形式命名为“洛伦兹变换”。次年,爱因斯坦表述了狭义相对论的最终形式。洛伦兹在1912年对于1904年的这项工作做了这样的评价:“你在这篇文章中可以看到,我并没能够得到爱因斯坦理论中变换方程的完整形式……相对论的优越之处就在于它首次把相对性原理作为普遍严格成立的物理规律。”[75]
然而,电子理论(最终形式)与狭义相对论可观测的结果是相同的,因而如果仅仅依靠实验数据是很难从二者中取舍的[84]。对于狭义相对论在多大程度上归功于电子理论,或者用拉卡托什·伊姆雷的说法,爱因斯坦的研究纲领比起洛伦兹的有何优越之处这个问题,科学史界有长时间的争论。1973年,拉卡托什的弟子伊利·扎哈尔(Elie Zahar)得出这样的结论:洛伦兹-斐兹杰惹收缩并不像惯常的观点那样是一种特例假设[85],并且洛伦兹当时也有充足的理由在经典力学的框架内解决问题[86]。 在扎哈尔看来,狭义相对论并没有弥补电子理论的纰漏(某些定律的随意性),而爱因斯坦的研究纲领的优越之处在广义相对论中才体现出来[87]。某些研究者并不接受扎哈尔的某些结论,并且认为其并不完整。比如肯尼思·S·沙夫纳(Kenneth S. Schaffner)就认为相对论中简洁概念是物理学家更为接受它的原因之一。而另一个重要的因素是电子理论并不符合电动力学之外的领域,比如当时刚刚发展的量子物理,的新数据。[88]保罗·费耶阿本德认为洛伦兹的理论虽然能给出大量现象的解释,但许多现象,特别是与原子有关的现象,则要等到量子力学建立后才能得到解释[89]。而在考察电子理论向现代物理的演变过程时,则需要考虑一些量子的概念[90][91]。阿瑟·I·米勒(Arthur I. Miller)则再次考虑洛伦兹-斐兹杰惹收缩假说的源来[92],但扎哈尔还是拒绝将其作为特例假设[93]。韦策·布劳沃(Wytze Brouwer)认为洛伦兹虽然对于相对论中大部分观点接受得很快,但却并没有接受其中对于以太的批驳。他认为这反映了洛伦兹与爱因斯坦两人在某些形而上的问题上的分歧,或者用托马斯·库恩的说法就是范式的不可公度性。[94]米海尔·扬森(Michel Janssen)认为完善的电子理论并不能视为由一系列特例拼凑而成的理论,爱因斯坦的创新之处在於将洛伦兹的理论架构与时空理论融为一体。不过,对于长度收缩以及时间膨胀等现象,狭义相对论是从时空性质的层面给出的解释,而在牛顿时空结构基础上构造的洛伦兹理论则将它们是为不能解释的巧合。[95]
南希·J·纳塞希安(Nancy J. Nersessian)认为“洛伦兹没能成为爱因斯坦”的主要原因在于二者方法论上的不同:洛伦兹是“自下而上”地构造理论,从电子与以太这些具体的物理概念以及它们的相互作用出发,以此为基础提出定律与假说;爱因斯坦则选择了完全相反的“自上而下”的道路,从相对性原理与光速不变原理这样的基本物理原理推及力学与电动力学的具体定律。洛伦兹不可能选择第二条道路,因为对于他来说,这个途径太过主观,而且他也看不到放弃原有信仰的必要。[96]还有其他的一些研究者也对二人的方法论做了分析[97][98]。同时还需要注意的是,洛伦兹也进行过非经典的研究并对现代物理的形成做过贡献[99]。1953年,爱因斯坦在洛伦兹百年诞辰之际对他做了这样的评价:
洛伦兹对于广义相对论的发展非常感兴趣。1910年,他对这个理论的架构以及物理结果做了细致的研究,并做了一些较为重要的工作。1913年,洛伦兹得到了广义相对论的早期形式。这项工作在爱因斯坦和格罗斯曼·马塞尔合著的《广义相对论和引力论纲要》(Entwurf einer verallgemeinerten Relativitatstheorie und Theorie der Gravitation)中发表。他发现场方程只有在使用对称的应力-能量张量时才会对任意坐标变换协变。爱因斯坦在写给洛伦兹的信中表示赞同他的结论。洛伦兹后来又对爱因斯坦1914年11月发表的《广义相对论的一般理论基础》(Die formale Grundlage der allgemeinen Relativitatstheorie)做了研究。他做了大量的计算(算稿多达700余页),并在次年年初发表文章,提出了他利用变分原理(哈密顿原理)得到的场方程。不过,洛伦兹和爱因斯坦此时也在争论广义共变性:爱因斯坦囿于“空穴论证”(利用这种佯谬得到的解并不遵守共变性)一直在试图证明对任意坐标变换非协变的方程,洛伦兹则觉得从尤参考系的存在没有什么不合宜之处。[102]
1915年11月,在广义相对论即将大功告成之际,洛伦兹说服了爱因斯坦与埃伦费斯特接受广义共变性。他认为这个原理与以太并没有抵触之处,因为从经验来说,物理性质不同的参考系也能是等价的。洛伦兹在之后几个月里发表了系列文章《论爱因斯坦的引力理论》(Over Einstein’s theorie der zwaartekracht,1916)。他在其中利用变分原理给出了对于广义相对论的另一种表述形式。由于高度复杂,这种主要使用几何方法的表述很少用到[103]。洛伦兹在其中首次尝试不用坐标来表述广义相对论,由于没有使用图利奥·列维-齐维塔1917年在黎曼几何中引入的平行移动方法,这种表述对于现代读者来说也不同寻常。在文章的第一部分(发表于1916年2月26日)中,洛伦兹发展了理论的几何框架;他在里面给出了弯曲时空中长度、面积以及体积的概念,并得到了质点系与度量张量的拉格朗日量。在第一部分结尾部分与第二部分(发表于1916年3月25日)中,洛伦兹基于之前的几何方法构造了电磁场的拉格朗日量。不过洛伦兹在之后的文章中放弃了无坐标方法,使用惯常的几何方法,通过变分原理给出场方程(1916年4月28日发表的第三部分)并试图利用能量-动量给出引力场的表述(1916年10月28日发表的第四部分)。[104]而他也在这篇文章中引入了对于广义相对论发展非常重要的数量曲率的直接几何解释。古斯塔夫·赫格洛茨(Gustav Herglotz
)之后也得到了类似的结果。[105][106]
热辐射与量子理论
1900年,洛伦兹开始着手研究热辐射问题。他试图在电子理论的基础上解释热辐射的性质,特别是推导热辐射频谱的普朗克公式。在论文《论金属长波热辐射的放出与吸收》(On the emission and absorption by metals of rays of heat of great wave-lengths,1903)中,洛伦兹利用金属中的电子热运动得到了金属放出的辐射的分布。他的结果与普朗克公式的长波部分(瑞利-金斯公式)相符合。他在这篇文章中还分析了普朗克的理论。他认为这一理论并没能够解释造成这种神秘现象的微观机制。在接下来的几年里,洛伦兹试图将他的方法运用到任意波长的辐射,以找到能符合实验数据的电子放出以及吸收辐射的机制,但均告失败。1908年,在向罗马国际数学家大会宣讲的报告《论有质量物质与以太间能量分布》(Le partage de l’énergie entre la matière pondérable et l’éther)中,洛伦兹提出瑞利-金斯公式可以从能量均分原理导出。[107][108]他得出了这样的结论:人们可以通过进一步的测量数据来在普朗克公式与瑞利-金斯公式间取舍,而瑞利-金斯公式将会是系统在过程中无法达到热平衡的证据。这个结论遭到了威廉·维恩等实验物理学家的批评。他们提出了其他可以批驳瑞利-金斯公式的证据。洛伦兹在几个月后被迫承认:“现在我承认我们面对着巨大的挑战。如果不对电子理论的基础做深刻的变革的话,我们不可能通过它推导热辐射定律。我现在不得不承认普朗克公式是唯一的答案。”由于洛伦兹在科学界的声望,他在罗马的演讲引起了科学界对于新生的量子问题的关注。[109][110]
洛伦兹在第一次索尔维会议(1911)中做了题为《能均分定理在热辐射中的应用》(Sur l’application au rayonnement du théorème de l’équipartition de l’énergie)的报告。他在这篇报告中对于用电动力学理论是否可以描述热辐射现象的问题做了细致的分析。就这个问题,他认为:“除非从哈密顿量开始推导,否则从所有可以想到的机制推导的结果都将是瑞利公式。”他提出需要更新光与物质相互作用的基本概念。洛伦兹尽管接受了普朗克提出的能量子假说,并以此为基础在1909年提出了普朗克公式的混合推导方法,但并不能同意爱因斯坦更为激进的光子假说。他认为这个假说很难和干涉等等现象调和。1921年,在和爱因斯坦讨论后,他提出了可以在量子与光波动性质间取得平衡的假说。依据这种假说,光是由两部分组成的——光子的能量以及与能量传递无关的波动部分。波在空间某处的“强度”取决于这块区域中落入的能量子数。尽管这个假说并没有得到科学界的重视,但其内容与路易·德布罗意几年后提出的導航波理论接近。[111][112]
洛伦兹从学术生涯开始时就深信原子理论。这一点不仅可以从其构造的电子理论看出来,还体现在他对於分子运动论的研究之中。洛伦兹1878年在就职演讲《物理学中的分子理论》(De moleculaire theorien in de natuurkunde)中阐述了他对物质原子结构的看法。洛伦兹时常关注分子运动论理论的发展。在他看来,其不仅可以证明热力学框架中的一些结果,同时还可以让他得到这个领域之外的收获。[117]
洛伦兹有关分子运动论的第一项研究工作发表在论文《依据分子运动论得到的气体运动方程与声传播方程》(De bewegingsvergelijkingen der gassen en de voortplanting van het geluid volgens de kinetische gastheorie,1880)中。他在这篇文章中考察了由内部有自由度的分子(多原子分子)组成的气体系统,得到了与玻尔兹曼方程(1872)类似的单粒子分布函数方程。洛伦兹展示了如何利用这个方程推导流体动力学中的方程,比如欧拉方程及纳维-斯托克斯方程。文章中的方法可以广泛地用在推导流体力学方程过程中以确定最低程度的假设。洛伦兹在这篇文章中还首次通过分子运动论推得牛顿-拉普拉斯声速方程,并引入了与分子内部自由度有关的系数,体积黏度。洛伦兹之后不久又利用其中结果研究了有温度梯度以及引力梯度的气体系统的行为。1887年,洛伦兹发表了批驳玻尔兹曼H定理(1872)原始形式的文章。他认为这个定理不适用于多原子分子气体。玻尔兹曼承认确实存在纰漏,并在之后不久开始着手完善定理。此外,洛伦兹还在这篇文章中简化了单原子分子气体的H定理。所得到的结果与现在的教科书中的形式类似。他还提供了新的可以证明速度空间单位体积内碰撞过程中守恒规律的证据。这些结果得到了玻尔兹曼的认可。[118]
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