罗素悖论

罗素悖论（英語：Russell's paradox），是英國哲學家伯特兰·罗素於1901年提出的悖论，是一个关于类的内涵问题。

罗素悖论有一些更为通俗的描述，如理发师悖论、书目悖论。但理髮師悖論被一些人認為只是罗素悖论的一種描述方式，僅以理髮師悖論並無法完全敘述羅素悖論。罗素悖论在类的理论中通过内涵公理而得到解决。

定义

设${\displaystyle A=\{x\mid x\not \in x\}}$，那么${\displaystyle A\in A\Leftrightarrow A\not \in A}$。

我们通常希望，任给一个性質（例如「年滿三十歲」就是一個性質），满足该性質的所有集合總可以组成一个集合。但这样的企图将导致悖论。

设有一性質${\displaystyle P}$，並以一性質函数${\displaystyle P(x)}$表示，且其中的自變量${\displaystyle x}$具有特性${\displaystyle x\not \in x}$。现假设由性质${\displaystyle P}$能夠确定一个滿足性質${\displaystyle P}$的集合${\displaystyle A}$——也就是说 ${\displaystyle A=\{x\mid x\not \in x\}}$。那么，${\displaystyle A\in A}$是否成立？

首先，若${\displaystyle A\in A}$，则${\displaystyle A}$是${\displaystyle A}$的元素，那么${\displaystyle A}$具有性质${\displaystyle P}$，由性質函数${\displaystyle P}$可以得知${\displaystyle A\not \in A}$；

其次，若${\displaystyle A\not \in A}$，根據定義，${\displaystyle A}$是由所有滿足性質${\displaystyle P}$的類組成，也就是说，${\displaystyle A}$具有性质${\displaystyle P}$，所以${\displaystyle A\in A}$。

通俗诠释

理发师悖论

小城里的理发师放出豪言：他要为城裡人刮鬍子，而且一定只要為城里所有“不为自己刮鬍子的人”刮鬍子。

但问题是：理发师该为自己刮鬍子吗？如果他为自己刮鬍子，那么按照他的豪言“只为城里所有不为自己刮鬍子的人刮鬍子”他不应该为自己刮鬍子；但如果他不为自己刮鬍子，同样按照他的豪言“一定要为城里所有不为自己刮鬍子的人刮鬍子”他又应该为自己刮鬍子。

用集合论的语言来描述理发师悖论是这样的：小城里的人构成集合${\displaystyle A=\{a|a\ lives\ in\ the\ town\}}$，对于每个小城里的人${\displaystyle a}$可以构造一个${\displaystyle A}$的子集${\displaystyle S_{a}=\{x|a\ shaves\ x\}}$，即${\displaystyle a}$给属于${\displaystyle S_{a}}$的人刮鬍子。那么，如果城里人${\displaystyle a}$给自己刮鬍子，则${\displaystyle a\in S_{a}}$，如果${\displaystyle a}$不给自己刮鬍子，则${\displaystyle a\not \in S_{a}}$，如果${\displaystyle a}$不给任何人刮鬍子，则${\displaystyle S_{a}}$ 为空，即${\displaystyle S_{a}=\{\}}$。设理发师为${\displaystyle s}$，则理发师的豪言就是：${\displaystyle S_{s}=\{a|a\not \in S_{a}\}}$。问题是：如果${\displaystyle s\in S_{s}}$，这将与${\displaystyle S_{s}}$的定义矛盾，但如果${\displaystyle s\not \in S_{s}}$，根据${\displaystyle S_{s}}$的定义，又应该有${\displaystyle s\in S_{s}}$。理发师悖论是个逻辑悖论。用集合论语言来描述并不是必需的，只是为了将来更容易说明它与罗素悖论不是一回事。

書目悖論

书目悖论（英語：Catalogue Paradox）是另一种罗素悖论的通俗解释。其内容为，假设有一图书馆编制了一部书目，有且仅有列出那些未列出自身的书目，那么这部书目会列出自身吗？^[1]

解决方案

当一个句子、想法或公式引用自身时，就会出现自指。直到现在，真正意义上的悖论，其问题几乎都是自指或自相关而引起。^[2] 尽管陈述可以是自指并且不自相矛盾（“This statement is written in English”是真实且非自相矛盾的带有自指的陈述），但自指是悖论的一个常见要素。根據路德維希·維根斯坦的《邏輯哲學論》，任何命題不能包含自身，同理一個函數不能包含自身。

罗素悖论中，在逻辑上它们都有无法摆脱概念自指所带来的恶性循环。因此，罗素提出了恶性循环原则（英语：Vicious_circle_principle），禁止使用包含被定义对象本身的的集合来定义该对象。^[2]逻辑系统中，如果要求任何命题不能违反恶性循环原则，则可以避免类似罗素悖论等自指性悖论。

参考资料

1. Curry, H. B, Haskell B. Foundations of mathematical logic. New York: Dover Publications. 1977: 5. ISBN 9780486634623.  使用|accessdate=需要含有|url= (帮助)
2. Bolander, Thomas. Self-Reference (Stanford Encyclopedia of Philosophy/Summer 2020 Edition). [2020-12-28]. （原始内容存档于2021-06-10）. In 1985, Yablo succeeded in constructing a semantic paradox that does not involve self-reference in the strict sense. ... Instead, it consists of an infinite chain of sentences, each sentence expressing the untruth of all the subsequent ones.  

参见

• 自指
• 理发师悖论
• 类的理论