数学基础

提示：此条目的主题不是基础数学。

数学上，数学基础（英語：foundations of mathematics）一词有时候用于数学的特定领域，例如数理逻辑，公理化集合论，证明论，模型论，和递归论（可計算性理論）。但是寻求数学的基础也是数学哲学的中心问题：在什么终极基础上命题可以称为“真”?

目前占统治地位的数学典範思想是基于公理化集合论和形式逻辑的。實際上，幾乎所有现在的数学定理都可以表述為集合论下的定理。在这个观点下，所謂数学命题的真实性，不过就是该命题可以从集合论公理使用形式逻辑推导出来。

这个形式化的方法（英语：Formalism (philosophy of mathematics)）不能解释一些问题：为什么我们應沿用现行的公理而不是別的，为什么我们應沿用现行的逻辑规则而不是別的，为什么「真」数学命题（例如，算術領域的皮亚诺公理）在物理世界中似乎是真的。这被尤金·维格纳在1960年叫做“数学在自然科学中无理由的有效性”（The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences）。

在數學實在論（英语：Mathematical realism）（有时也叫柏拉图主义）中，独立于人类的数学对象的世界的存在性被作为一个基本假设；这些对象的真实性由人类「发现」。在这种观点下，自然定律和数学定律有類似的地位，因此"有效性"不再"无理由"。不是我们的公理，而是数学对象的真实世界构成了數學基础。但，显然的问题在于，我们如何接触这个世界？

一些数学哲学的现代理论不承认這種數學基础的存在性。有些理论倾向于專注数学实践（英语：Mathematical practice），並試圖把数学家的实際工作視為一種社會群體來作描述和分析。也有理論试图创造一个数学认知科学（英语：Numerical cognition），把数学在"现实世界"中的可靠性歸結為人類的認知。这些理论建议只在人类的思考中找到基础，

参见

• 数学哲学
• 数学准经验主义
• 几何基础

参考来源

• The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Eugene Wigner, 1960;
• What is mathematical truth?, Hilary Putnam, 1975;
• Mathematics as an objective science, Nicholas D. Goodman, 1979;
• Some proposals for reviving the philosophy of mathematics, Reuben Hersh, 1979;
• Challenging foundations, Thomas Tymoczko, 1986, preface to first section of New Directions in the Philosophy of Mathematics, 1986 and (revised) 1998, which includes also Putnam, Goodman, Hersh.

外部链接

• 维基共享资源上的相關多媒體資源：数学基础
• Philosophy of mathematics. 《互联网哲学百科全书》. 
• What is Foundations of Mathematics?
• Logic and Mathematics （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Foundations of Mathematics mailing list （页面存档备份，存于互联网档案馆）