依賴選擇公理

在數學上，依賴選擇公理（${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$，英語：Axiom of dependent choice）是選擇公理（${\displaystyle {\mathsf {AC}}}$）較弱的版本，但依賴選擇公理依舊足以發展實分析絕大多數的內容。依賴選擇公理最早由保羅·伯奈斯（英语：Paul Bernays）於1942年一篇討論哪些集合論公理對發展數學分析是必要的文章中引入。^[a]

正式描述

若一個${\displaystyle X}$上的齊次關係（英语：homogeneous relation）${\displaystyle R}$被稱作全關係，則對於所有的${\displaystyle a\in X,}$而言，皆存在有一個${\displaystyle b\in X}$，使得${\displaystyle a\,R~b}$成立。

依賴選擇公理的表述如下： 對於任意非空集合${\displaystyle X}$及任意${\displaystyle X}$上的全關係${\displaystyle R}$而言，皆存在有一個${\displaystyle X}$上的序列${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$，使得以下陳述成立：

對於任意的${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$而言，${\displaystyle x_{n}\,R~x_{n+1}}$

若限制上述的${\displaystyle X}$為所有實數的集合，那相關公理可表記為${\displaystyle {\mathsf {DC}}_{\mathbb {R} }.}$

應用

即使在沒有這條公理的狀況下，對於任意的${\displaystyle n}$，依舊可用一般的數學歸納法造出如此序列的最前面${\displaystyle n}$項；而依賴選擇公理說的是我們可用此種方式造出整個（可數無限的）序列。

${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$這條公理是${\displaystyle {\mathsf {AC}}}$的片斷，而在「必須於每一步都做出選擇」且「一些選擇無法在不仰賴先前選擇的情形下獨立做出」的狀況下證明「存在有可以可數長度的超限遞歸建構的序」列時，這條公理是必須的。

等價陳述

在策梅洛-弗蘭克爾集合論${\displaystyle {\mathsf {ZF}}}$的框架下，${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$等同於完備度量空間上的貝爾綱定理。^[1]

在${\displaystyle {\mathsf {ZF}}}$的框架下，這公理也等價於勒文海姆–斯科倫定理。^[b][2]

${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$在${\displaystyle {\mathsf {ZF}}}$的框架下也與「所有有${\displaystyle \omega }$層且剪枝過的樹（英语：pruned tree）都有分支（英语：Branch (descriptive set theory)）」這陳述等價。

不僅如此，${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$也與弱化版的佐恩引裡等價；特別地，${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$與「任何使得所有良序鏈都有限且有界的偏序，都必然有極大元素」這敘述等價。^[3]

${\displaystyle \,{\mathsf {DC}}\iff }$ 所有有ω層且剪枝過的樹都有分支的證明

${\displaystyle (\,\Longleftarrow \,)}$設${\displaystyle R}$是${\displaystyle X}$上的完整二元關係（entire binary relation），那麼此處的策略是定義一棵${\displaystyle X}$上有限序列的樹${\displaystyle T}$，而這棵樹的鄰近元素滿足${\displaystyle R}$這關係。在這種狀況下，${\displaystyle T}$的其中一個分支是鄰近元素滿足${\displaystyle R}$這關係的無限序列。我們先從定義「若對於${\displaystyle 0\leq k<n.}$而言，${\displaystyle x_{k}R\,x_{k+1}}$，則${\displaystyle \langle x_{0},\dots ,x_{n}\rangle \in T}$」開始，由於${\displaystyle R}$是完整二元關係之故，因此${\displaystyle T}$是一棵具有${\displaystyle \omega }$層且剪枝過的樹，因此${\displaystyle T}$有${\displaystyle \langle x_{0},\dots ,x_{n},\dots \rangle .}$這分支，因此對於所有的${\displaystyle n\geq 0\!:}$而言，${\displaystyle \langle x_{0},\dots ,x_{n},x_{n+1}\rangle \in T,}$，而這蘊含了${\displaystyle x_{n}R\,x_{n+1}.}$，因此${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$為真。 ${\displaystyle (\,\Longrightarrow \,)}$ 設${\displaystyle T}$是一棵位於${\displaystyle X}$上具有${\displaystyle \omega }$層的剪枝過的樹，那麼此處的策略是定義${\displaystyle T}$上的二元關係${\displaystyle R}$，而這關係使得${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$導出${\displaystyle t_{n}=\langle x_{0},\dots ,x_{f(n)}\rangle }$這樣的序列，而在這序列中，${\displaystyle t_{n}R\,t_{n+1}}$且${\displaystyle f(n)}$是一個嚴格遞增函數；而在這種狀況下，無窮序列${\displaystyle \langle x_{0},\dots ,x_{k},\dots \rangle }$是一個分支。（要證明這點，只需要對${\displaystyle f(n)=m+n.}$進行證明）我們先定義「若${\displaystyle u}$是${\displaystyle v}$的始序列（initial subsequence），且${\displaystyle \operatorname {length} (u)>0,\,}$且${\displaystyle \operatorname {length} (v)=}$ ${\displaystyle \operatorname {length} (u)+1.}$，則${\displaystyle u\,R\,v}$」開始，由於${\displaystyle T}$是一棵具有${\displaystyle \omega }$層的剪枝過的樹枝故，所以${\displaystyle R}$是個完整關係；因此${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$蘊含說存在有無限序列${\displaystyle t_{n}}$使得${\displaystyle t_{n}\,R\,t_{n+1}}$，因此對於一些${\displaystyle m\geq 0.}$而言，${\displaystyle t_{0}=\langle x_{0},\dots ,x_{m}\rangle }$。設${\displaystyle x_{m+n}}$${\displaystyle t_{n}.}$的最終元素，那麼${\displaystyle t_{n}=\langle x_{0},\dots ,x_{m},\dots ,x_{m+n}\rangle .}$。對於所有的${\displaystyle k\geq 0,}$而言${\displaystyle \langle x_{0},\dots ,x_{k}\rangle }$這序列屬於${\displaystyle T}$。由於這是${\displaystyle t_{0}\,(k\leq m)}$的的始序列，或者是一個${\displaystyle t_{n}\,(k\geq m)}$之故，因此${\displaystyle \langle x_{0},\dots ,x_{k},\dots \rangle }$是一個分支。

與其他公理的關係

和完整版的${\displaystyle {\mathsf {AC}}}$不同的是，${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$在${\displaystyle {\mathsf {ZF}}}$的框架下，不足以證明說有些實數集是不可測集，也不足以證明有些實數集合不具有貝爾性質或完美集性質（英语：perfect set property）；而由於梭羅維模型滿足${\displaystyle {\mathsf {ZF}}+{\mathsf {DC}}}$，且在此模型中所有的實數集合都是勒貝格可測集、都具有貝爾性質和完美集性質之故，因此這說法成立。

依賴選擇公理蘊含可數選擇公理，且嚴格強於可數選擇公理。^[4][5]

註解

1. "The foundation of analysis does not require the full generality of set theory but can be accomplished within a more restricted frame." Bernays, Paul. Part III. Infinity and enumerability. Analysis. (PDF). Journal of Symbolic Logic. A system of axiomatic set theory. 1942, 7 (2): 65–89 [2022-07-23]. JSTOR 2266303. MR 0006333. doi:10.2307/2266303. （原始内容存档 (PDF)于2022-07-23）.  The axiom of dependent choice is stated on p. 86.
2. Moore states that "Principle of Dependent Choices ${\displaystyle \Rightarrow }$ Löwenheim–Skolem theorem" — that is, ${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$ implies the Löwenheim–Skolem theorem. See table Moore, Gregory H. Zermelo's Axiom of Choice: Its origins, development, and influence. Springer. 1982: 325. ISBN 0-387-90670-3. 

參考資料

1. 「貝爾綱定理蘊含依賴選擇公理」─Blair, Charles E. The Baire category theorem implies the principle of dependent choices. Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astron. Phys. 1977, 25 (10): 933–934. 
2. The converse is proved in Boolos, George S.; Jeffrey, Richard C. Computability and Logic 3rd. Cambridge University Press. 1989: 155–156. ISBN 0-521-38026-X.  含有內容需登入查看的頁面 (link)
3. Wolk, Elliot S., On the principle of dependent choices and some forms of Zorn's lemma 26 (3), Canadian Mathematical Bulletin: 365–367, 1983 [2022-07-23], doi:10.4153/CMB-1983-062-5 , （原始内容存档于2022-07-23） 
4. 伯奈斯證明說依賴選擇公理蘊含可數選擇公理，相關資料可見於Bernays, Paul. Part III. Infinity and enumerability. Analysis. (PDF). Journal of Symbolic Logic. A system of axiomatic set theory. 1942, 7 (2): 65–89 [2022-07-23]. JSTOR 2266303. MR 0006333. doi:10.2307/2266303. （原始内容存档 (PDF)于2022-07-23）. 的第86頁
5. 對於可數選擇公理不蘊含依賴選擇公理這點，可見Jech, Thomas, The Axiom of Choice, North Holland: 130–131, 1973, ISBN 978-0-486-46624-8 

• Jech, Thomas. Set Theory Third Millennium. Springer-Verlag. 2003. ISBN 3-540-44085-2. OCLC 174929965. Zbl 1007.03002.