不可测集

數學上,不可測集指的是一類無法指定有意義的「容積」的集合。在數學上,學者建構此類集合以為形式集合論提供關於長度面積體積等觀念的資訊。在策梅洛-弗蘭克爾集合論的架構下,選擇公理蘊含了實數集有不可測的子集。

自不可測集的提出以來,這觀念掀起了許多的爭議,在歷史上,這曾使得博雷爾以及柯爾莫哥洛夫將機率論討論的對象限至於可測集上。實數上的可測集是區間的可數聯集與交集(即博雷爾集)與零測集之間的加減的結果。可測集合的數量多到可包含所有在標準數學中出現的集合的可靠定義;然而要證明一個集合可測,需要下很大的功夫。

在1970年,羅伯特·M·梭羅維英语Robert M. Solovay(Robert M. Solovay)建構出梭羅維模型,他並證明說這模型與不包含不可數選擇的標準集合論相容,而在這模型中,實數集所有的子集都可測;然而,梭羅維的結果仰賴不可達基數的存在性,而其存在性無法在標準集合論的框架下證明。

歷史建構

為任何集合定義長度的作法可能出問題的第一個跡象是維塔利定理[1]

人們會期望說兩個不相交集合測度,與這兩個集合的測度的和相等,而有著這樣性質的測度具有「有限可加性」。盡管就多數對面積的直觀想法而言,有限可加的測度已足夠,且這與黎曼積分相等,但這樣的測度在機率論上依舊是不足的,而這是因為當代對一系列事件或隨機值的常規處理要求可數可加性

就這方面而言,平面與線段類似,在平面上有作為勒貝格測度延伸、具有有限可加性且在等距同構意義下保持不變的測度;然而在更高維度下,狀況變得複雜,豪斯多夫悖論巴拿赫-塔斯基悖論指出,一個半徑為1的三維球可分成五塊並重組成兩顆半徑為1的三維球。

例子

是單位圓上所有點的集合,並考慮由包含所有有理旋轉(也就是旋轉角度為乘以有理數的旋轉)的群群作用。在此是可數的(更具體地說,同構)而是則是不可數的,因此可透過分成不可數多的軌道(而的軌道是可數集)。利用選擇公理,我們可以從每個軌道中找到一個元素,並得以構造一個不可數集,且的所有有理數變換(也就是對某個有理數而言,有著這樣形式的變換複本)[2]彼此兩兩不相交,也就是這些集合彼此不相交,也不與相交,而這樣的變換所構成的集合是一個將圓分成可數多且彼此不相交集合的劃分,且在有理變換下,這些集合彼此兩兩全等。這樣的就旋轉不變且可數可加的機率測度而言,是一個不可測集合,因為假若是零測集,那這個圓的測度就會是零;但若的測度大於零,那可數可加性就會使得這個圓的測度為無限大。

測度與機率的一致定義

巴拿赫-塔斯基悖論指出,除非在以下數條中至少一條作出讓步,不然在三維空間中無法定義體積:

  1. 一些集合的體積在旋轉後發生變化。
  2. 兩個不相交集合的體積,可以與這兩個集合的體積的和不相等。
  3. 一些集合是不可測的,而在討論體積前必須先討論一個集合是否可測。
  4. ZFC公理(帶有選擇公理策梅洛-弗蘭克爾集合論)需要修正。

標準的測度論在第三項上做出讓步,數學家定義可測集的集族,而這樣的集合非常豐富,幾乎所有在多數數學分支中會被特別定義的集合都屬此類,而通常要證明一個集合可測是相當容易的。這麼做的基本假設是不相交集合的無限序列滿足求和公式,此性質即是所謂的σ-可加性

在1970年,梭羅維英语Robert M. Solovay證明說在不假設選擇公理等更多公設的狀況下,勒貝格不可測集的存在性在策梅洛-弗蘭克爾集合論當中是不可證明的,而他藉由證明說在假定不可達基數存在的狀況下,存在有一個基於策梅洛-弗蘭克爾集合論可數選擇公理的模型,在其中所有的集合都是勒貝格可測的,且在其中完全版的選擇公理不成立,而現在一般把這模型給稱為梭羅維模型

完全版的選擇公理與吉洪諾夫定理這個點集拓樸學的基本結果等價,且與泛函分析中巴拿赫-阿勞格魯定理克林-米爾曼定理英语Krein–Milman theorem的這兩個基本結果等價;此外這公理對無限群的研究有巨大的影響,也對環論序理論的研究造成影響(見布爾素理想定理);然而就幾何測度論英语Geometric measure theory位勢論傅立葉級數傅立葉變換而言,決定公理依賴選擇公理的加總是足夠的,而在決定公理及依賴選擇公理成立的狀況下,實數線上所有的子集都是勒貝格可測的。

參見

參考資料

註解

  1. ^ Moore, Gregory H., Zermelo's Axiom of Choice, Springer-Verlag, 1982, pp. 100-101
  2. ^ Ábrego, Bernardo M.; Fernández-Merchant, Silvia; Llano, Bernardo. On the Maximum Number of Translates in a Point Set. Discrete & Computational Geometry. January 2010, 43 (1): 1–20. ISSN 0179-5376. doi:10.1007/s00454-008-9111-9可免费查阅 (英语). 

書目

Read other articles:

Burundi padaOlimpiade Musim Panas 2020Kode IOCBDIKONComité National Olympique du BurundiPenampilan pada Olimpiade Musim Panas 2020 di TokyoPeserta6 dalam 3 cabang olahragaPembawa bendera (pembukaan)Ornella HavyarimanaBelly-Cresus GaniraPembawa bendera (penutupan)N/AMedali 0 0 0 Total 0 Penampilan pada Olimpiade Musim Panas (ringkasan)1996200020042008201220162020 Burundi berkompetisi di Olimpiade Musim Panas 2020 di Tokyo. Awalnya dijadwalkan berlangsung selama musim panas 2020, Oli...

 

Book of poetry by Margaret Atwood First edition Morning in the Burned House is a book of poetry by Canadian author Margaret Atwood published by McClelland and Stewart in 1995. The book expresses themes, interests, and styles characteristic of Atwood’s poetry. These include attention to the landscape of the Canadian Shield, an air of foreboding, and poems addressed to an unspecified you.[1] However, the collection also explores two distinct concerns. The first is torture, in particul...

 

Este artigo não cita fontes confiáveis. Ajude a inserir referências. Conteúdo não verificável pode ser removido.—Encontre fontes: ABW  • CAPES  • Google (N • L • A) (Agosto de 2021) Dan Cruickshank Dan Cruickshank (1949) é professor, historiador, consultor, especialista em arquitetura e apresentador de televisão britânico. É autor de vários livros sobre a arquitetura londrina e membro honorário do Royal Institute of B...

Kerajaan MoreaRegno di MoreaKoloni di Republik Venesia1688–1715Peloponnesus, Kini Kerajaan Morea, oleh Frederik de Wit, 1688Ibu kotaNauplio (Napoli di Romania)SejarahPemerintahan • JenisKoloniProvveditore Generale di Morea • 1688–1690 Giacomo Corner (pertama)• 1714–1715 Alessandro Bon (terakhir) Era sejarahModern Awal• Ditaklukan oleh Venesia 1685–1687• Didirikan 1688• Ditaklukan kembali oleh Utsmaniyah 1715• Traktat Passarowi...

 

У Вікіпедії є статті про інших людей із прізвищем Лупій. Лупій Григорій ВасильовичНародився 28 червня 1928(1928-06-28)Нова Кам'янка, Кам'янка-Волоська, гміна Кам'янка-Волоська, Равський повіт, Львівське воєводство, Польська РеспублікаПомер 19 грудня 1996(1996-12-19) (68 років)Львів, Україна

 

Untuk kegunaan lain, lihat The Way Home. The Way HomeNama lainHangul집으로 Alih Aksara yang DisempurnakanJib EuroMcCune–ReischauerChip Ŭro Sutradara Lee Jeong-hyang Produser Hwang Woo-hyun Hwang Jae-woo Ditulis oleh Lee Jeong-hyang PemeranKim Eul-boonYoo Seung-hoPenata musikKim Dae-heungKim Yang-heeSinematograferYoon Heung-sikPenyuntingKim Jae-bumKim Sang-bumPerusahaanproduksiTube PicturesDistributorCJ EntertainmentTube EntertainmentTanggal rilis 5 April 2002 (2002-04-0...

Para la teoría de grupos en ciencias sociales, véase grupo social. Diagrama de Cayley del grupo libre de orden dos. En álgebra abstracta, la teoría de grupos estudia la estructura algebraica conocida como grupo,[1]​ que es un conjunto no vacío dotado de una operación interna. Sus objetivos son, entre otros, la clasificación de los grupos, el estudio de sus propiedades y sus aplicaciones tanto dentro como fuera de las matemáticas. El orden de un grupo es su cardinalidad; sobre la...

 

すずき みう鈴木 美羽 鈴木 美羽プロフィール愛称 みうぴよ生年月日 2000年4月14日現年齢 23歳出身地 日本 神奈川県血液型 AB型公称サイズ([1]時点)身長 / 体重 160 cm / 41.5 kgBMI 16.2靴のサイズ 24 cm 単位系換算身長 / 体重5′ 3″ / 91 lb活動デビュー 2012年モデル内容 一般他の活動 女優事務所 アミューズその他の記録 「第16回ニコラモデルオーディション」グランプリ 12...

 

В Википедии есть статьи о других людях с фамилией Леклерк. Запрос «Бюффон» перенаправляется сюда; см. также другие значения. Жорж-Луи Леклерк де БюффонBuffon Дата рождения 7 сентября 1707(1707-09-07) Место рождения Монбар, (Франция) Дата смерти 16 апреля 1788(1788-04-16) (80 лет) Место смерт...

2023 single by Le SserafimEve, Psyche & the Bluebeard's WifeEnglish version coverSingle by Le Sserafimfrom the album Unforgiven ReleasedMay 23, 2023 (2023-05-23)GenreK-popJersey clubLength3:05Label Source YG Plus Songwriter(s)Score (13)Megatone (13)Hitman BangSupreme BoiMaia WrightMax ThulinBenjmnGusten DahlqvistArineh KarimiHuh Yun-jinLee Hyung-seok (PNP)DankeProducer(s)13Le Sserafim singles chronology Unforgiven (2023) Eve, Psyche & the Bluebeard's Wife (2023) Perfect...

 

Roman empress and wife of the Roman emperor Antoninus Pius Faustina the ElderAugustaBust of Faustina Major in the Altes Museum (Berlin)Roman empressTenure138 – 140Bornc. 100Diedlate October 140 (aged 40)near Rome, ItalyBurialMausoleum of HadrianSpouseAntoninus PiusIssue Marcus Aurelius Fulvius Antoninus (died before 138) Marcus Galerius Aurelius Antoninus (died before 138) Aurelia Fadilla (died in 135) Annia Galeria Faustina Minor or Faustina the Younger NamesAnnia Galeria FaustinaRegnal na...

 

Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada Oktober 2016. Confessions of an Economic Hit ManPenulisJohn Perkins (en) BahasaInggris Genreotobiografi Diterbitkan2004PenerbitBerrett-Koehler Publishers (en) Pages250 Selengkapnya di Wikidata Confessions of an Economic Hit Man adalah buku yang ditulis oleh John Per...

Deep-submergence rescue vehicle DRASS Galeazzi SRV-300 launched by mother ship Anteo, Gulf of Taranto, 2005 History Italy NameSRV-300 BuilderDRASS (Livorno) Launched1998 Commissioned1999 General characteristics Class and typedeep submergence rescue vehicle Displacement27.3 tons Length8.46 m (27.8 ft) Installed power20 kW Propulsion Electric motors Main propulsion, horizontal angle up to +/- 45° Auxiliary propulsion, 4x10Kw thrusters for transverse and vertical motion Speed2.5 knots...

 

South Korean novelist, journalist and critic This article's lead section may be too short to adequately summarize the key points. Please consider expanding the lead to provide an accessible overview of all important aspects of the article. (July 2021) In this Korean name, the family name is Kim. Kim HoonNative name김훈BornMay 5th, 1948Seoul, South KoreaOccupationwriter, journalist, critic, essayistPeriod1994 -Genrenovels, short-storiesNotable worksSong of the SwordNotable awardsYi Sang Lite...

 

Railway station in Drammen, Norway This article does not cite any sources. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Gulskogen Station – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (June 2019) (Learn how and when to remove this template message) GulskogenGeneral informationLocationGulskogen, DrammenNorwayCoordinates59°44′37.96″N 10°9′38.60″E&#x...

Spanish futsal club Football clubSantiago FootballFull nameSantiago FootballFounded1975GroundMultiusos Fontes do Sar,Santiago de Compostela,Galicia, SpainCapacity5,500ChairmanRamón García SearaManagerSanti ValladaresLeaguePrimera División2015–16Primera División, 10th Home colours Away colours Santiago Futsal, formerly known as Autos Lobelle de Santiago Fútbol Sala, is a professional futsal club based in Santiago de Compostela, Galicia. The club was founded in 1975 and plays its home ga...

 

Pour l'ONG dont le sigle est également EFF, voir Electronic Frontier Foundation. Pour l’article homonyme, voir Combattants namibiens pour la liberté économique. Combattants pour la liberté économique(en) Economic Freedom Fighters Logotype officiel. Présentation Président Julius Malema Fondation 26 juillet 2013 Scission de Congrès national africain Siège 119 Rue Marshall, Johannesbourg Présidente Veronica Mente (en) Secrétaire général Marshall Dlamini (en) Porte-parole...

 

Type of firearm with a flared muzzle For the Jack White album, see Blunderbuss (album). For other uses, see Blunderbuss (disambiguation). A flintlock blunderbuss, built for Tipu Sultan[1] The blunderbuss is a 17th- to mid-19th-century firearm with a short, large caliber barrel which is commonly flared at the muzzle, to help aid in the loading of shot and other projectiles of relevant quantity or caliber. The blunderbuss is commonly considered to be an early predecessor of the modern s...

أمير المسلمين أبو حمو موسى الثالث سلطان تلمسان أبو حمو موسى بن أبي عبد الله المتوكل سلطان الدولة الزيانية فترة الحكم1516-1518 أبو زيان الثالث أبو زيان الثالث الفترة الثانية فترة الحكم1518-1519 أبو زيان الثالث أبو محمد عبد الله الثاني معلومات شخصية الوفاة 925 هـ / 1519 متلمسان مواطنة م...

 

تي جي بيركنز معلومات شخصية اسم الولادة تيدي جيمس بيركنز الميلاد 3 سبتمبر 1984 (العمر 39 سنة)لوس أنجلوس ، كاليفورنيا ، الولايات المتحدة الطول 5.10 قدم (1.78 متر) الجنسية  الفلبين أسماء أخرى تيدي جيمس بيركنز تي جي بيركنز سويسايد الوزن 175 باوند (79 كلغم) الحياة العملية يقدم من لوس أنجل...

 

Strategi Solo vs Squad di Free Fire: Cara Menang Mudah!