白雜訊

白噪声功率谱

白噪声[1],或稱白噪音,是一種功率譜密度為常數的隨機信號随机过程。即此信號在各個频段上的功率一致。由于白光是由各種頻率(颜色)的单色光混合而成,因而此信号的平坦功率谱性质稱為“白色”,此信号也因此得名為白噪声。相对的,其他不具有这一性质的噪声信号則称为有色噪声

理想的白噪声具有無限頻寬,因而其能量是無限大,這在现实世界是不可能存在的。实际上,人常常將有限頻寬的平整訊號視為白噪声,以方便进行數學分析。

統計特性

白噪声过程现实实例

术语白噪声也常用于表示在相关空间的自相关为0的空域噪声信号,于是信号在空间频率域内就是“白色”的,对于角频率域内的信号也是这样,例如夜空中向各个角度发散的信号。右面的图片显示了计算机产生的一个有限长度的离散时间白噪声过程。

需要指出,相关性和概率分布是两个不相关的概念。“白色”仅意味着信号是不相关的,白噪声的定义除了要求均值为零外并没有对信号应当服从哪种概率分布作出任何假设。因此,如果某白噪声过程服从高斯分布,则它是“高斯白噪声”。类似的,还有泊松白噪声、柯西白噪声等。人们经常将高斯白噪声与白噪声相混同,这是不正确的认识。根据中心极限定理,高斯白噪声是许多现实世界过程的一个很好的近似,并且能够生成数学上可以跟踪的模型,这些模型用得如此频繁以至于加性高斯白噪声成了一个标准的缩写词:AWGN。此外,高斯白噪声有着非常有用的统计学特性,因为高斯变量的独立性与不相关性等价

白噪声是维纳过程或者布朗运动的广义均方导数(generalized mean-square derivative)。

白噪声的数学期望为0:

自相关函数狄拉克δ函数

上式正是对白噪声的“白色”性质在时域的描述。由于随机过程的功率谱密度是其自相关函数的傅里叶变换,而δ函数的傅里叶变换为常数,因此白噪声的功率谱密度是平坦的。

噪声的颜色

频谱图上显示的左边的粉红噪声和右边的白噪声

也有其它“颜色”的噪声存在,最常用的有粉红、棕色和蓝色噪声。

應用

白噪声的应用领域之一是建筑声学,为了减弱内部空间中分散人注意力并且不希望出现的噪声(如人的交谈),使用持续的低强度噪声作为背景声音。一些紧急车辆的警报器也使用白噪声,因为白噪声能够穿过如城市中交通噪声这样的背景噪声并且不会引起反射,所以更加容易引起人们的注意。

电子音乐中也有白噪声的应用,它被直接或者作为滤波器的输入信号以产生其它类型的噪声信号,尤其是在音频合成中,经常用来重现类似于铙钹这样在频域有很高噪声成分的打击乐器。

白噪声也用来产生脈衝響應。为了在一个演出地点保证音乐会或者其它演出的均衡效果,从PA系统发出一个瞬间的白噪声或者粉红噪声,并且在不同的地方监测噪声信号,这样工程师就能够建筑物的声学效应能够自动地放大或者削减某些频率,从而就可以调整总体的均衡效果以得到一个平衡的和声,且根據網路調查,許多民眾提到人聲、雨聲等白噪音可以協助專心、入睡、放鬆心情[2]

白噪声可以用于放大器或者电子滤波器的频率响应测试,有时它与响应平坦的话筒或和自动均衡器一起使用。这个设计的思路是系统会产生白噪声,话筒接收到扬声器产生的白噪声,然后在每个频率段进行自动均衡从而得到一个平坦的响应。这种系统用在专业级的设备、高端的家庭立体声系统或者一些高端的汽车收音机上。

白噪声也作为一些随机数字生成器的基础使用。

白噪声也可以用于审讯前使人迷惑,并且可能用于感觉剥夺技术的一部分。上市销售的白噪声机器产品有私密性增强器、睡眠辅助器以及掩饰耳鸣

數學定義

白色隨機向量

一個隨機向量 為一個白色隨機向量若且唯若它的平均值函數與自相關函數滿足以下條件:

意即它是一個平均值為零的隨機向量,並且它的自相關函數單位矩陣的倍數。

白色隨機過程(白雜訊)

一個時間連續隨機過程 ,其中 , 為一個白雜訊若且唯若它的平均值函數與自相關函數滿足以下條件:

意即它是一個對所有時間其平均值為零的隨機過程,並且它的自相關函數是狄拉克δ函數,有無限大的功率。

由上述自相關函數可推出以下的功率譜密度。

由於δ函數的傅立葉變換為1。而對於所有頻率來說,此功率譜密度是一樣的。因此這是對白雜訊之「白色」性質在頻域的表述。

随机向量变换

白色随机向量的两个理论应用是模拟以及白化另外一个任意随机向量。为了模拟一个任意随机向量,我们使用一个仔细选择的矩阵对白色随机向量进行变换。我们选择的变换矩阵能够是被变换的白色随机向量的平均值和协方差矩阵与模拟的任意向量的平均值和协方差矩阵相匹配。为了白化一个任意的随机向量,我们使用仔细选择的矩阵对它进行变换,这样得到的随机向量就是一个白色随机向量。

这两个思想在通信音频领域中通道估计通道均衡这样的应用中是很关键的。这些思想在数据压缩中也有应用。

模拟随机向量

假设随机向量 协方差矩阵 ,由于这个矩阵是 共轭对称半正定,根据线性代数中的谱定理,我们可以用以下方法对角线或者分解矩阵,

其中 特征向量正交矩阵特征值对角矩阵

通过对白色向量 进行下面变换我们可以模拟这个平均、协方差矩阵为随机向量 的一阶和二阶矩量属性:

其中

这样,这个变换输出的期望是

协方差矩阵是

白化随机向量

白化一个平均值协方差矩阵 的向量 的方法是执行下面的计算:

这样,这个变换输出的期望是

协方差矩阵

对角线化 得到:

这样,通过上面的变换就可以将随机向量白化为平均值为0、协方差矩阵是单位矩阵的随机向量。

随机信号变换

我们将模拟和白化这两个概念推广到连续时间随机信号或者随机过程。我们创建一个滤波器用于模拟,将白噪声注入其中,用输出信号模拟任意随机过程的一阶和二阶矩。对于白化,我们将任意随机信号注入所选滤波器中,滤波器输出是白噪声。

模拟连续时间随机信号

将白噪声注入线性时不变滤波器中模拟任意随机过程的一阶和二阶矩

我们可以使用固定的平均值 协方差函数

功率谱密度

模拟任何广义的稳定连续时间随机过程

我们可以使用频域技术模拟这个信号。

由于 是个半正定埃尔米特矩阵,所以 实数并且当且仅当 满足佩维维纳标准英语Paley–Wiener theorem(Paley-Wiener criterion)

时可以 factored 为

如果 有理函数,我们可以将它分解成极点-零点格式

选择最小相位 (minimum phase) 保证极点和零点都位于S 面的左侧,这样我们就可以使用作为滤波器的传递函数来模拟

我们可以构建下面的线性非時變 (time-invariant) 滤波器来模拟

其中 是有如下一阶和二阶属性的连续时间的白噪声:

这样,结果信号 与所期望的信号 一样有同样的二阶矩量属性。

连续时间随机信号的白化

任意随机过程 x(t) 输入一个线性时不变滤波器,滤波器将 x(t)白化为白噪声

假设我们有一个广义的稳定连续时间随机过程 ,与上面定义的信号同样的平均值 协方差函数 功率谱密度

我们可以使用频域技术 白化 这个信号,用上面的过程 factor 功率谱密度

选择最小相位 得到极点和零点都位于s 面左侧,这样就可以用下面的反滤波器白化

选择的最小相位滤波器保证逆滤波器稳定的。另外,必须保证 在所有 上都严格为正,这样 就不会有任何 奇点

白化过程的最终格式如下所示:

这样 就是一个白色噪声随机过程,它的平均值为零、功率谱密度

注意这个功率谱密度 对应于 协方差函数的 δ函數

参见

參考資料

  1. ^ 黃俊欽. 隨機訊號處理. 臺北: 儒林. 1992. ISBN 957-652-432-6 (中文(臺灣)). 
  2. ^ Social Lab社群實驗室, Social Lab社群實驗室. 噪音也可以很療癒?網推這類白噪音最好睡!. Social Lab社群實驗室. 2022-10-25 [2023-01-05]. (原始内容存档于2023-01-05) (中文(臺灣)). 

外部链接


Read other articles:

この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。(このテンプレートの使い方)出典検索?: 関西外国語大学 – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL(2021年6月) 関西外国語大学 中宮キャンパス大学設置 ...

 

Offenbach pada tahun 1860-an Jacques Offenbach (pengucapan bahasa Prancis: [ʒak ɔfɛnbak]; bahasa Jerman: [ˈɔfn̩bax]; 20 Juni 1819 – 5 Oktober 1880) adalah seorang komposer, pemain cello, dan impresaris dari periode romantis berkebangsaan Prancis kelahiran Jerman. Ia dikenang atas operet-operetnya yang berjumlah hampir 100 buah dari tahun 1850-an hingga 1870-an dan opera yang belum selesai, The Tales of Hoffmann. Ia berpengaruh kuat pada komposer-komposer genre ...

 

Relações entre Etiópia e Rússia     Mapa indicando localização da Etiópia e da Rússia.   Etiópia   Rússia As relações entre Etiópia e Rússia (em russo: Российско-эфиопские отношения) referem-se as relações entre os dois países, a Etiópia e a Rússia. A Rússia tem atualmente uma embaixada em Addis Abeba e a Etiópia tem uma embaixada em Moscou. O embaixador da Etiópia na Rússia também está credenciado na Armê...

Réservoir auto-obturant d'un Messerschmitt Me 262 exposé dans un musée. Un réservoir de carburant auto-obturant est un type réservoir de carburant dont la technologie l'empêche de fuir, et donc de provoquer un incendie, après un endommagement. Historique Cette section est vide, insuffisamment détaillée ou incomplète. Votre aide est la bienvenue ! Comment faire ? Un premier brevet est déposé le 7 février 1917 aux États-Unis mais a été gardé secret par la Federal Trad...

 

Koordinat: 11°19′N 166°47′E / 11.32°N 166.78°E / 11.32; 166.78 Rongelap Munisipalitas dan atolNegara Kepulauan MarshallKepulauanRalikLuas • Total8 km2 (3 sq mi)Populasi (2011) • Total79 • Kepadatan9,9/km2 (26/sq mi)Kode ISO 3166-2MH-RON Atol Rongelap adalah salah satu munisipalitas dan atol di Kepulauan Marshall. Menurut sensus 2011, Rongelap memiliki luas 8 kilometer persegi dan populasi 79 jiwa...

 

هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالات متعلقة بها. (أبريل 2019) ماريو بيلي معلومات شخصية الميلاد 30 نوفمبر 1970 (53 سنة)  سياتل  مواطنة الولايات المتحدة  الطول 69 بوصة  الوزن 162 رطل  الحياة العملية المهنة لاعب كرة قد...

2013–19 American animated TV series This article is about the television series. For the character, see Steven Universe (character). For the film, see Steven Universe: The Movie. For the epilogue limited series, see Steven Universe Future. Steven UniverseSeason 2–5 title cardGenre Science fiction[1] Musical[1] Comedy[1] Coming of age[2] Created byRebecca SugarVoices of Zach Callison Estelle Michaela Dietz Deedee Magno Hall Theme music composer Rebecca Sugar...

 

Joachim Lelewel Signatur von Joachim Lelewel Joachim Lelewel um 1825 Lelewel zugeschriebene Flagge des Novemberaufstands 1830: „Im Namen Gottes: Für Eure Freiheit und unsere“ Adam Mickiewicz (Zeichnung von Joachim Lelewel) Skizze von David d’Angers für Lelewels Medaille (1844) August der Starke 1731: Taufgeschenk für sein Patenkind August von Jauchspäter Wiege Joachim Lelewels(heute Nationalmuseum Krakau) Joachim Lelewel-Grab auf dem Rasos-Friedhof in Vilnius Manuskript „Hist...

 

ヘンリー・セントジョージ・タッカー 立教大学商科第1回卒業記念写真(1911年) タッカーホール(立教大学池袋キャンパス) ヘンリー・セントジョージ・タッカー(Henry St. George Tucker、1874年7月16日 - 1959年8月8日)は、米国聖公会総裁主教、立教学院総理。神学博士など4つの博士号を持つ[1]。1907年の立教大学(旧制専門学校)の設立に尽力し、現在の立教学院の...

半沢直樹 هانزاوا ناوكي النوع أعمالية وحياتية بطولة ساكاي ماساتو البلد  اليابان لغة العمل اليابانية عدد المواسم 2 عدد الحلقات 16 مدة الحلقة 46–92 دقيقة مدة العرض 54 دقيقة  موسيقي تاكايوكي هاتوري  القناة تي بي إس بث لأول مرة في 7 يوليو 2013 بث لآخر مرة في 22 سبتمبر 2013  وصلات خ...

 

English journalist and historian (1794–1877) John Clark MarshmanCSIPortrait by Colesworthey Grant (1859)Born(1794-08-18)18 August 1794Bristol, EnglandDied8 July 1877(1877-07-08) (aged 82)London, EnglandParent(s)Joshua Marshman, Hannah Marshman John Clark Marshman (18 August 1794 – 8 July 1877) was an English journalist and historian. He was editor and publisher of the Calcutta-based Friend of India, and was involved with several other Indian publications. Early life Marshman was the ...

 

2022 biographical film directed by Sanjay Leela Bhansali For the person, see Gangubai Kothewali. Gangubai KathiawadiTheatrical release posterDirected bySanjay Leela BhansaliScreenplay bySanjay Leela BhansaliUtkarshini VashishthaStory byHussain ZaidiProduced byJayantilal GadaSanjay Leela BhansaliStarring Alia Bhatt Shantanu Maheshwari Vijay Raaz Indira Tiwari Seema Pahwa Jim Sarbh Ajay Devgn CinematographySudeep ChatterjeeEdited bySanjay Leela BhansaliMusic bySongs: Sanjay Leela Bhansali Backg...

South Korean footballer For first lady of South Korea, see Kim Keon-hee. Kim Gun-hee Personal informationFull name Kim Gun-heeDate of birth (1995-02-22) 22 February 1995 (age 28)Place of birth Jeonju, South KoreaHeight 1.86 m (6 ft 1 in)Position(s) ForwardTeam informationCurrent team Hokkaido Consadole SapporoNumber 13Youth career2008–2010 Jeonnam Dragons U-152011–2013 Suwon Samsung Bluewings U-182014–2015 Korea UniversitySenior career*Years Team Apps (Gls)2016–202...

 

This article does not cite any sources. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: American Idol Season 11 Top 10 Highlights – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (August 2012) (Learn how and when to remove this template message) 2012 compilation album by Various ArtistsAmerican Idol Season 11 Top 10 HighlightsCompilation album by Various Artis...

 

Federasi Sepak Bola Republik Islam IranAFCDidirikan1920Kantor pusatTeheranBergabung dengan FIFA1945Bergabung dengan AFC1958PresidenAli KafashianWebsitewww.ffiri.ir Federasi Sepak Bola Republik Islam Iran atau FFIRI (singkatan bahasa Inggris: Football federation of the Islamic Republic of Iran, Persia: فدراسیون فوتبال ایران) adalah badan pengendali sepak bola di Iran. Badan ini merupakan badan pengendali dari tim nasional senior Iran, Liga Pro Iran, dan Piala Hafzi. ...

Saint-Jean-de-Lier Sent Joan de Lièr Entidad subnacional Saint-Jean-de-Lier Sent Joan de LièrLocalización de Saint-Jean-de-Lier Sent Joan de Lièr en Francia Coordenadas 43°47′22″N 0°52′43″O / 43.789444444444, -0.87861111111111Entidad Comuna de Francia • País Francia • Región Aquitania • Departamento Landas • Distrito distrito de Dax • Cantón cantón de Montfort-en-Chalosse • Mancomunidad Communauté de communes de Mont...

 

Railway station in Jōyō, Kyoto Prefecture, Japan Kutsukawa Station久津川駅Kutsukawa StationGeneral informationLocationHirakawa, Jōyō-shi, Kyoto-fu 610-0101JapanCoordinates34°51′53.05″N 135°46′29.33″E / 34.8647361°N 135.7748139°E / 34.8647361; 135.7748139Operated by Kintetsu RailwayLine(s) Kyoto LineDistance14.6 km from KyotoPlatforms2 side platformsConnections Bus terminal Other informationStation code B13 WebsiteOfficial websiteHisto...

 

American baseball player Baseball player Kevin BarkerBarker with the Louisville Bats in 2009First basemanBorn: (1975-07-26) July 26, 1975 (age 48)Bristol, Virginia, U.S.Batted: LeftThrew: LeftMLB debutSeptember 19, 1999, for the Milwaukee BrewersLast MLB appearanceOctober 4, 2009, for the Cincinnati RedsMLB statisticsBatting average.249Home runs6Runs batted in36 Teams Milwaukee Brewers (1999–2000) San Diego Padres (2002) Toronto Blue Jays (2006) Cincinnati...

This article includes a list of general references, but it lacks sufficient corresponding inline citations. Please help to improve this article by introducing more precise citations. (May 2017) (Learn how and when to remove this template message) Church in London, EnglandSt Bartholomew-by-the-ExchangeAn engraving of the church in 1839LocationLondonCountryUnited KingdomDenominationAnglicanArchitectureArchitect(s)Christopher WrenStyleBaroqueDemolished1840 St. Bartholomew-by-the-Exchange was a ...

 

هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالات متعلقة بها. (أبريل 2020) التصفح أو الإستعراض (بالإنجليزية: Browsing) هو نوع من إستراتيجية التوجيه.[1][2] من المفترض أن يحدد التصفح شيئًا ذا صلة بما يتم تصفحه، فعندما يُستخدم المصطل...

 

Strategi Solo vs Squad di Free Fire: Cara Menang Mudah!