Узагальнений розподіл Парето

Узагальнений розподіл Парето
Функція розподілу УРП для ${\displaystyle \mu =0}$ і різних значень ${\displaystyle \sigma }$ та ${\displaystyle \xi }$
Функція розподілу ймовірностей
Параметри	${\displaystyle \mu \in (-\infty ,\infty )\,}$ зсув (дійсний) ${\displaystyle \sigma \in (0,\infty )\,}$ масштаб (дійсний) ${\displaystyle \xi \in (-\infty ,\infty )\,}$ форми (дійсний)
Носій функції	${\displaystyle x\geqslant \mu \,\;(\xi \geqslant 0)}$ ${\displaystyle \mu \leqslant x\leqslant \mu -\sigma /\xi \,\;(\xi <0)}$
Розподіл імовірностей	${\displaystyle {\frac {1}{\sigma }}(1+\xi z)^{-(1/\xi +1)}}$ where ${\displaystyle z={\frac {x-\mu }{\sigma }}}$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	${\displaystyle 1-(1+\xi z)^{-1/\xi }\,}$
Середнє	${\displaystyle \mu +{\frac {\sigma }{1-\xi }}\,\;(\xi <1)}$
Медіана	${\displaystyle \mu +{\frac {\sigma (2^{\xi }-1)}{\xi }}}$
Мода	${\displaystyle }$
Дисперсія	${\displaystyle {\frac {\sigma ^{2}}{(1-\xi )^{2}(1-2\xi )}}\,\;(\xi <1/2)}$
Коефіцієнт асиметрії	${\displaystyle {\frac {2(1+\xi ){\sqrt {1-2\xi }}}{(1-3\xi )}}\,\;(\xi <1/3)}$
Коефіцієнт ексцесу	${\displaystyle {\frac {3(1-2\xi )(2\xi ^{2}+\xi +3)}{(1-3\xi )(1-4\xi )}}-3\,\;(\xi <1/4)}$
Ентропія	${\displaystyle \log(\sigma )+\xi +1}$
Твірна функція моментів (mgf)	${\displaystyle e^{\theta \mu }\,\sum _{j=0}^{\infty }\left[{\frac {(\theta \sigma )^{j}}{\prod _{k=0}^{j}(1-k\xi )}}\right],\;(k\xi <1)}$
Характеристична функція	{{{char}}}

У статистиці, в узагальнений розподіл Парето (УРП, англ. Generalized Pareto distribution) — це сімейство неперервних імовірнісних розподілів. Він часто використовується для моделювання хвостів інших розподілів. Він визначається трьома параметрами: параметром розташування ${\displaystyle \mu }$, масштабу ${\displaystyle \sigma }$і форми ${\displaystyle \xi }$^[1][2]. Іноді він визначається тільки параметром масштабу і форми^[3], а іноді тільки параметром форми. Деякі джерела подають параметр форми у вигляді ${\displaystyle \kappa =-\xi \,}$.^[4]

Означення

Стандартна функція розподілу УРП записується^[5]

${\displaystyle F_{\xi }(z)={\begin{cases}1-\left(1+\xi z\right)^{-1/\xi }&{\text{for }}\xi \neq 0,\\1-e^{-z}&{\text{for }}\xi =0.\end{cases}}}$

де носій ${\displaystyle z\geq 0}$ при ${\displaystyle \xi \geq 0}$ і ${\displaystyle 0\leq z\leq -1/\xi }$ при ${\displaystyle \xi <0}$.

${\displaystyle f_{\xi }(z)={\begin{cases}(\xi z+1)^{-{\frac {\xi +1}{\xi }}}&{\text{for }}\xi \neq 0,\\e^{-z}&{\text{for }}\xi =0.\end{cases}}}$

Характеристика

Пов'язані місцевості-масштаб сімейство розподілів, отриманих шляхом заміни аргументу Z з допомогою ${\displaystyle {\frac {x-\mu }{\sigma }}}$ і регулювання підтримки відповідно: кумулятивна функція розподілу це

${\displaystyle F_{(\xi ,\mu ,\sigma )}(x)={\begin{cases}1-\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{\sigma }}\right)^{-1/\xi }&{\text{for }}\xi \neq 0,\\1-\exp \left(-{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)&{\text{for }}\xi =0.\end{cases}}}$

для ${\displaystyle x\geqslant \mu }$ коли ${\displaystyle \xi \geqslant 0\,}$та ${\displaystyle \mu \leqslant x\leqslant \mu -\sigma /\xi }$ при ${\displaystyle \xi <0}$, де ${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle \sigma >0}$ і ${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} }$.

Функції щільності :

${\displaystyle f_{(\xi ,\mu ,\sigma )}(x)={\frac {1}{\sigma }}\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{\sigma }}\right)^{\left(-{\frac {1}{\xi }}-1\right)}}$,

або еквівалентно

${\displaystyle f_{(\xi ,\mu ,\sigma )}(x)={\frac {\sigma ^{\frac {1}{\xi }}}{\left(\sigma +\xi (x-\mu )\right)^{{\frac {1}{\xi }}+1}}}}$,

знову, для ${\displaystyle x\geqslant \mu }$ при ${\displaystyle \xi \geqslant 0}$, і ${\displaystyle \mu \leqslant x\leqslant \mu -\sigma /\xi }$ при ${\displaystyle \xi <0}$.

Функція щільності є розв'язком диференційного рівняння:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}f'(x)(-\mu \xi +\sigma +\xi x)+(\xi +1)f(x)=0,\\f(0)={\frac {\left(1-{\frac {\mu \xi }{\sigma }}\right)^{-{\frac {1}{\xi }}-1}}{\sigma }}\end{array}}\right\}}$

Особливі випадки

• Якщо параметри форми ${\displaystyle \xi }$ і локалізації ${\displaystyle \mu }$ обидва рівні нулю, УРП є експоненційним розподілом.
• Якщо параметр форми ${\displaystyle \xi >0}$, а параметр розташування ${\displaystyle \mu =\sigma /\xi }$, тоді УРП еквівалентний розподілу Парето з параметрами масштабу ${\displaystyle x_{m}=\sigma /\xi }$ і форми ${\displaystyle \alpha =1/\xi }$.
• Якщо ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle GPD}$ ${\displaystyle (}$${\displaystyle \mu =0}$, ${\displaystyle \sigma }$, ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle )}$тоді ${\displaystyle Y=\log(X)}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle exGPD}$ ${\displaystyle (}$${\displaystyle \mu =0}$, ${\displaystyle \sigma }$, ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle )}$, де exGPD є експоненційний узагальнений розподіл Парето. На відміну від УРП, exGPD має моменти всіх порядків, незалежно від його параметрів та інтерпретацій параметрів масштабу і форми, що робить оцінки параметрів більш ефективними.
• УРП дуже схожий на Картавий розподілу.

Генерація узагальнено Парето розподілених випадкових величин

Якщо U є рівномірно розподіленою на (0, 1], тоді

${\displaystyle X=\mu +{\frac {\sigma (U^{-\xi }-1)}{\xi }}\sim {\mbox{GPD}}(\mu ,\sigma ,\xi \neq 0)}$

і

${\displaystyle X=\mu -\sigma \ln(U)\sim {\mbox{GPD}}(\mu ,\sigma ,\xi =0).}$

Обидві формули отримані шляхом інверсії СГО.

У статистичних пакеті MATLAB, легко можна згенерувати вибірку узагальнено Парето розподілених випадкових чисел використовуючи команду "gprnd".

УРП як експоненційно-гамма суміш розподілів

В УРП випадкова величина може бути виражена у вигляді експоненційної випадкової величини з гамма-розподіленим параметром інтенсивности.

${\displaystyle X|\Lambda \sim Exp(\Lambda )}$

і

${\displaystyle \Lambda \sim Gamma(\alpha ,\beta )}$

тоді

${\displaystyle X\sim GPD(\xi =1/\alpha ,\ \sigma =\beta /\alpha )}$

Однак зауважимо, що оскільки параметри гамма розподілу має бути більшим нуля, ми отримаємо додаткові обмеження: ${\displaystyle \xi }$ має бути позитивним.

Див. також

• Розподіл задирок
• Розподіл Парето
• GAV розподіл
• Пикандса–Балкемы–теорема де Хаан

Посилання

1. Coles, Stuart (12 грудня 2001). An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values. Springer. с. 75. ISBN 9781852334598. (англ.)
2. Dargahi-Noubary, G. R. (1989). On tail estimation: An improved method. Mathematical Geology. 21 (8): 829—842. doi:10.1007/BF00894450. (англ.)
3. Hosking, J. R. M.; Wallis, J. R. (1987). Parameter and Quantile Estimation for the Generalized Pareto Distribution. Technometrics. 29 (3): 339—349. doi:10.2307/1269343. (англ.)
4. Davison, A. C. (30 вересня 1984). Modelling Excesses over High Thresholds, with an Application. У de Oliveira, J. Tiago (ред.). Statistical Extremes and Applications. Kluwer. с. 462. ISBN 9789027718044.
5. Embrechts, Paul; Klüppelberg, Claudia; Mikosch, Thomas (1 січня 1997). Modelling extremal events for insurance and finance. с. 162. ISBN 9783540609315.

Додаткова література

• Pickands, James (1975). Statistical inference using extreme order statistics. Annals of Statistics. 3: 119—131. doi:10.1214/aos/1176343003. (англ.)
• Balkema, A.; De Haan, Laurens (1974). Residual life time at great age. Annals of Probability. 2 (5): 792—804. doi:10.1214/aop/1176996548. (англ.)
• Lee, Se Yoon; Kim, J.H.K. (2018). Exponentiated generalized Pareto distribution:Properties and applications towards extreme value theory. Communications in Statistics - Theory and Methods. 0: 1—25. doi:10.1080/03610926.2018.1441418. (англ.)
• N. L. Johnson; S. Kotz; N. Balakrishnan (1994). Continuous Univariate Distributions Volume 1, second edition. New York: Wiley. ISBN 0-471-58495-9. Chapter 20, Section 12: Generalized Pareto Distributions. (англ.)
• Barry C. Arnold (2011). Chapter 7: Pareto and Generalized Pareto Distributions. У Duangkamon Chotikapanich (ред.). Modeling Distributions and Lorenz Curves. New York: Springer. ISBN 9780387727967. (англ.)
• Arnold, B. C.; Laguna, L. (1977). On generalized Pareto distributions with applications to income data. Ames, Iowa: Iowa State University, Department of Economics. (англ.)

Ланки

• Mathworks: Generalized Pareto distribution