Логістичний розподіл
Логістичний розподіл |
---|
![Standard logistic PDF](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e9/Logisticpdfunction.png/320px-Logisticpdfunction.png) | Функція розподілу ймовірностей ![Standard logistic CDF](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fc/Logistic_cdf.png/320px-Logistic_cdf.png) | Параметри |
![{\displaystyle s>0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0969663e8426ffe28bbcf0fcf221d8c08fdf1e00) |
---|
Носій функції | ![{\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6240073d5749fc83627bb4f6de7e6a7b8fddbd6) |
---|
Розподіл імовірностей | ![{\displaystyle {\frac {e^{-(x-\mu )/s}}{s\left(1+e^{-(x-\mu )/s}\right)^{2}}}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b03c7c83aca3279426ca33abc40529a12d3f4e66) |
---|
Функція розподілу ймовірностей (cdf) | ![{\displaystyle {\frac {1}{1+e^{-(x-\mu )/s}}}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f289d1a394aa2af5c744765a036a663da71d51b) |
---|
Середнє | ![{\displaystyle \mu \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d20addf0d9f04e185714134b97726c4bf17d340) |
---|
Медіана | ![{\displaystyle \mu \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d20addf0d9f04e185714134b97726c4bf17d340) |
---|
Мода | ![{\displaystyle \mu \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d20addf0d9f04e185714134b97726c4bf17d340) |
---|
Дисперсія | ![{\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{3}}s^{2}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16f65e3aeb0ed2e3f2f58ddf46532cf1d79d1266) |
---|
Коефіцієнт асиметрії | ![{\displaystyle 0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db4b06f9315849466a0502680377e30a9da8a1b5) |
---|
Коефіцієнт ексцесу | ![{\displaystyle 6/5\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/378f99851ea16bfd1d2a1e1dd7092e3780dae570) |
---|
Ентропія | ![{\displaystyle \ln(s)+2\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e59a0fa47600c944052e6d31afcde329368aebed) |
---|
Твірна функція моментів (mgf) | ![{\displaystyle e^{\mu \,t}\,\mathrm {B} (1-s\,t,\;1+s\,t)\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d626ad24775d503242af793d5f8f68af9e016eb) для , Бета-функція |
---|
Характеристична функція | ![{\displaystyle e^{i\mu t}\,\mathrm {B} (1-ist,\;1+ist)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12503309938845e791963355ce3a91a818f8edf6) для ![{\displaystyle |ist|<1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/194808f1f05a164a411ec8593d7aaeea630f1823) |
---|
Логістичний розподіл — неперервний ймовірнісний розподіл. Логістичний розподіл за формою нагадує нормальний розподіл, проте має більший коефіцієнт ексцесу.
Визначення розподілу
Функція щільності розподілу
Функція щільності (pdf) логістичного розподілу визначається за формулою:
![{\displaystyle ={\frac {1}{4\,s}}\;\operatorname {sech} ^{2}\!\left({\frac {x-\mu }{2\,s}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3264ee94105cc0e7a0e28fe84415b3eecd65fe11)
Альтернативно визначивши підстановку одержується функція щільності:
![{\displaystyle g(x;\mu ,\sigma )=f(x;\mu ,\sigma {\sqrt {3}}/\pi )={\frac {\pi }{\sigma \,4{\sqrt {3}}}}\,\operatorname {sech} ^{2}\!\left({\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}\,{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a401124fbf8828b24c4e9311ad361f819dec726a)
Функція розподілу
Функцією розподілу логістичного розподілу є логістична функція:
![{\displaystyle ={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\;\operatorname {tanh} \!\left({\frac {x-\mu }{2\,s}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7a8f19dbef5dd17f50d118fdedfc2b69d81c9d2)
Моменти розподілу
Математичне сподівання
![{\displaystyle E[X]=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {xe^{-(x-\mu )/s}}{s\left(1+e^{-(x-\mu )/s}\right)^{2}}}\!dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x}{4\,s}}\;\operatorname {sech} ^{2}\!\left({\frac {x-\mu }{2\,s}}\right)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d60479d462ad958054df4b483f82e701de371f92)
- Підставимо:
![{\displaystyle u={\frac {(x-\mu )}{2s}},du={\frac {1}{2s}}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82b563aacc826f5752eb11fd845615bb8ca9cbaa)
![{\displaystyle E[X]=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2\,s\,u+\mu }{2}}\;\operatorname {sech} ^{2}\!\left(u\right)du}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/626d6ddaaf2ad6f8292d0be53ebae7f915ddd543)
![{\displaystyle E[X]=s\int _{-\infty }^{\infty }u\;\operatorname {sech} ^{2}\!\left(u\right)du+{\frac {\mu }{2}}\int _{-\infty }^{\infty }\;\operatorname {sech} ^{2}\!\left(u\right)du}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/023c9e4c9cdfb2b34b1a1ae83dd4b2e6d9b63a78)
- Справедлива рівність:
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }u\;\operatorname {sech} ^{2}\!\left(u\right)du=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c59a522b82fdf9a812ce371efd6f7ab9394dd015)
![{\displaystyle E[X]={\frac {\mu }{2}}\int _{-\infty }^{\infty }\;\operatorname {sech} ^{2}\!\left(u\right)du={\frac {\mu }{2}}\,2=\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aae6337cadf635f1b29cbcf5ca3b2fe44abfc834)
Моменти вищих порядків
Центральний момент n-го порядку може бути обчислений:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [(X-\mu )^{n}]&=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{n}dF(x)=\int _{0}^{1}{\big (}F^{-1}(p)-\mu {\big )}^{n}dp\\&=s^{n}\int _{0}^{1}{\Big [}\ln \!{\Big (}{\frac {p}{1-p}}{\Big )}{\Big ]}^{n}\,dp.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4ec0f12f386e267f6f7266e249061be398a1514)
Інтеграл може бути виражений через числа Бернуллі:
![{\displaystyle \operatorname {E} [(X-\mu )^{n}]=s^{n}\pi ^{n}(2^{n}-2)\cdot |B_{n}|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36c3b6137df258b36cca0d6122cf65db40447a51)
Див. також
Література
- N., Balakrishnan (1992). Handbook of the Logistic Distribution. Marcel Dekker, New York. ISBN 0-8247-8587-8.
- Johnson, N. L., Kotz, S., Balakrishnan N. (1995). Continuous Univariate Distributions. Vol. 2 (2nd Ed. ed.). ISBN 0-471-58494-0.
|
---|
| | | Дискретні одновимірні зі скінченним носієм |
|
---|
| Дискретні одновимірні з нескінченним носієм |
|
---|
| Неперервні одновимірні з носієм на обмеженому проміжку |
|
---|
| Неперервні одновимірні з носієм на напів-нескінченному проміжку |
|
---|
| Неперервні одновимірні з носієм на всій дійсній прямій |
|
---|
| Неперервні одновимірні з носієм змінного типу |
|
---|
| Змішані неперервно-дискретні одновимірні |
|
---|
| Багатовимірні (спільні) |
|
---|
| Напрямкові |
|
---|
| Вироджені та сингулярні[en] |
|
---|
| Сімейства |
|
---|
|
|
|