Теорема про рівні вписані кола бере початок у японських сангаку і стосується такої побудови: серія променів проводиться з якоїсь точки до перетину з заданою прямою так, що кола, вписані в трикутники, утворені суміжними променями і прямою, однакові. На ілюстрації однакові сині кола визначають кути між променями, як описано вище.
Теорема стверджує, що за описаної вище побудови кола, вписані в трикутники, утворені променями через один (тобто отримані об'єднанням двох сусідніх трикутників), через два і т. д., також рівні. Випадок сусідніх трикутників показано на малюнку зеленими колами: всі вони однакові.
З факту, що твердження теореми не залежить від кута між початковим променем і заданою прямою, можна зробити висновок, що теорема скоріше належить до математичного аналізу, а не геометрії, і повинна мати стосунок до неперервної маштабної функції, яка визначає відстань між променями. Фактично цією функцією є гіперболічний синус.
Теорема є прямим наслідком такої леми.
Припустимо, що n-й промінь утворює з нормаллю до базової прямої кут γ n {\displaystyle \gamma _{n}} . Якщо γ n {\displaystyle \gamma _{n}} параметризовано відповідно до рівності t g γ n = s h θ n {\displaystyle \mathrm {tg} \,\gamma _{n}=\mathrm {sh} \,\theta _{n}} , то значення θ n = a + n b {\displaystyle \theta _{n}=a+nb} , де a {\displaystyle a} і b {\displaystyle b} — дійсні сталі, визначають послідовність променів, які задовольняють умовам вписаних кіл (див. вище), і щобільше, будь-яку послідовність променів, що задовольняють цим умовам, можна отримати належним вибором параметрів a {\displaystyle a} і b {\displaystyle b} .
На малюнку суміжні промені PS і PT утворюютьють з прямою PR, перпендикулярною до базової прямої RT, кути γ n {\displaystyle \gamma _{n}} і γ n + 1 {\displaystyle \gamma _{n+1}} .
Проведемо через центр O вписаного в трикутник △ {\displaystyle \triangle } PST кола пряму QY, паралельну до базової прямої. Це коло дотикається до променів у точках W і Z. відрізок PQ має довжину h − r {\displaystyle h-r} , а відрізок QR має довжину r {\displaystyle r} , що дорівнює радіусу вписаного кола.
Тоді △ {\displaystyle \triangle } OWX подібний △ {\displaystyle \triangle } PQX, △ {\displaystyle \triangle } OZY подібний △ {\displaystyle \triangle } PQY, а з XY = XO + OY ми отримуємо
Це відношення на множині кутів { γ m } {\displaystyle \{\gamma _{m}\}} виражає умову рівності вписаних кіл.
Для доведення леми покладемо t g γ n = s h ( a + n b ) {\displaystyle \mathrm {tg} \,\gamma _{n}=\mathrm {sh} \,(a+nb)} . Цей вираз можна перетворити на sec γ n = c h ( a + n b ) {\displaystyle \sec \gamma _{n}=\mathrm {ch} \,(a+nb)} .
Використовуючи рівність a + ( n + 1 ) b = ( a + n b ) + b {\displaystyle a+(n+1)b=(a+nb)+b} , застосовуємо додаткові правила для s h {\displaystyle \mathrm {sh} \,} і c h {\displaystyle \mathrm {ch} \,} і перевіряємо, що відношення рівності кіл задовольняється виразом
Ми отримали вираз для параметра b {\displaystyle b} в термінах геометричних величин h {\displaystyle h} і r {\displaystyle r} . Далі, визначаючи b {\displaystyle b} , отримуємо вираз для радіусів r N {\displaystyle r_{N}} вписаних кіл, утворених вибором кожного N-го променя стороною трикутника: