Народився у районі Бісдорф Східного Берліна, де і розпочав навчання футболу у місцевому клубі «Фортуна» (Біздорф), а 2006 року перейшов в академію клубу «Уніон» (Берлін). 2001 року перейшов в академію англійського «Челсі».
До початку сезону 2005–2006 сезону, шанси Гута стати гравцем основного складу були невеликі, оскільки на його позицію претендувало ще три інших гравця світового класу: Джон Террі, Вільям Галлас та Рікарду Карвалью. Трьох цих гравців Жозе Моурінью, що зайняв пост головного тренера після Клаудіо Раньєрі влітку 2004 року, випускав на поле набагато частіше, ніж німця. Незважаючи на це, португальський наставник не дав відбутися влітку 2005 року переходу Гута до складу чемпіона Німеччини — мюнхенської«Баварії».
13 липня 2006 року раніше обговорений перехід Гута в клуб Прем'єр-ліги «Мідлсбро» зірвався на стадії медичної комісії. Клуб продовжував стежити за німцем, і 31 серпня того ж року керівництво «Мідлсбро» заявило про підписання контракту з гравцем терміном на 5 років за 6 000 000 [[фунт стерлінгів. Щоправда, і в новому клубі Роберт не зміг стати основним захисником, чому завадили часті травми німця.
Роберт Гут у складі збірної Німеччини (2005)
Влітку 2009 року «Мідлсбро» вилетіло з Прем'єр-ліги і вже 27 серпня того ж року Гут на 5 млн £ перейшов у «Сток Сіті», де відразу став основним центральним захисником команди. За п'ять з половиною сезонів відіграв за команду з міста Сток-он-Трент 18 матчів в усіх турнірах, забивши 18 голів.
2 лютого 2015 року на умовах оренди до кінця сезону 2014/15 перейшов до «Лестер Сіті». Після завершення терміну оренди 24 червня 2015 року уклав з «Лестером» повноцінний трирічний контракт. В сезоні 2015/16 був основним захисником команди, яка сенсаційно стала переможцем англійської Прем'єр-ліги. Згодом ще протягом сезону був ключовою фігурою у захисті «Лестера», а сезон 2017/18 був змушений пропустити через травми. Влітку 2018 року його контракт з клубом закінчився, а на початку 2019 року гравець офіційно оголосив про завершення ігрової кар'єри.
За першу збірну Німеччин Гут дебютував у день свого двадцятиріччя, вийшовши на заміну на 86-й хвилині замість Андреаса Хінкеля. Це сталося в Відні, коли збірна Німеччини в товариському матчі переграла Австрію — 3:1.
На домашньому кубку конфедерацій 2005 року Роберт разом з Пером Мертезакером становив уже основну пару захисників. Свій перший гол за збірну Гут забив на цьому турнірі, 29 червня 2005 року, в матчі за третє місце, який був виграний у збірної Мексики з рахунком 3:4 у додатковий час. Другий свій гол за Німеччину Гут забив у кошмарному для німців матчі, коли вони поступилися незадовго до початку домашньої світової першості, 1 березня 2006 року у Флоренціїіталійцям — 1:4.
Під час чемпіонату світу Гут втратив своє місце Крістофу Метцельдеру як партнер Мертезакера після кількох помилок в обороні в матчах перед турніром, через що зіграв на турнірі лише в одній грі — в останньому матчі групового етапу проти збірної Еквадору.
Після «мундіалю» випав з обойми гравців збірної і в майбутньому рідко викликався до лав «бундестіму». Загалом провів у формі головної команди країни 19 матчів, забивши 2 голи.
