Однорідний многогранник
Однорі́дний многогранник — вершинно транзитивний многогранник (транзитивний відносно вершин, а також ізогональний, тобто є рух, що переводить вершину в будь-яку іншу), грані якого є правильними многокутниками. Звідси випливає, що всі вершини конгруентні і многогранник має високий рівень дзеркальної й обертової симетрії.
Однорідні многогранники можна поділити на опуклі форми з гранями у вигляді правильних опуклих многокутників і зірчасті форми. Зірчасті форми мають грані у вигляді правильних зірчастих многокутників, вершинних фігур або обох видів разом.
Список включає:
- всі 75 непризматичних однорідних многогранників;
- деяких представників нескінченної множини призм та антипризм;
- один окремий випадок, многогранник Скілінга з ребрами, що перетинаються.
1970 року радянський учений Сопов довів[1], що існує лише 75 однорідних многогранників, які не входять до нескінченних серій призм і антипризм. Джон Скілінг (John Skilling) відкрив ще один многогранник, послабивши умову, що ребро може належати лише двом граням. Деякі автори не вважають цей многогранник однорідним, оскільки деякі пари ребер збігаються.
Не включено:
Нумерація
Використовують чотири схеми нумерації однорідних многогранників, що відрізняються літерами:
- [C] Коксетер зі співавторами (1954). Список містить опуклі види з номерами від 15 до 32, три призматичні види (номери 33—35) та неопуклі види (номери 36—92).
- [W] Веннінджер (1974). Список містить 119 фігур: номери 1—5 для платонових тіл, 6—18 для архімедових тіл, 19—66 для зірчастих видів, включно з 4 правильними неопуклими многогранниками, та 67—119 для неопуклих однорідних многогранників.
- [K] Kaleido (програма[4], 1993). Список містить 80 фігур, номери згруповано за симетрією: 1—5 представляють нескінченні серії призматичних форм з діедричною симетрією[en], 6—9 з тетраедричною симетрією, 10—26 з октаедричною симетрією[en], 46—80 з ікосаедричною симетрією.
- [U] Mathematica (програма, 1993). У програмі, загалом, використано таку ж нумерацію, як у програмі Kaleido, лише перші 5 призматичних види перенесено в кінець списку, отже непризматичні види отримали номери 1—75.
Список многогранників
Опуклі форми перераховано в порядку степенів вершинних конфігурацій від 3 граней/вершин і далі, і збільшення сторін грані. Таке впорядкування дозволяє показати топологічну схожість.
Опуклі однорідні багатогранники
Однорідні зірчасті многогранники
Особливий випадок
Назва за Бауером (Bower)
|
Малюнок
|
Символ Вітгоффа
|
Вершинна конфігурація
|
Група симетрії
|
C#
|
W#
|
U#
|
K#
|
Вершин
|
Ребер
|
Граней
|
|
Щіль-ність
|
Граней за типами
|
Великий бікирпатий біромбо- бідодекаедр[en]
|
|
(3/2) 5/3 (3) 5/2
|
(5/2.4.3.3.3.4.5/3.4.3/2.3/2.3/2.4)/2
|
Ih
|
-
|
-
|
-
|
-
|
60
|
240 (*)
|
204
|
24
|
|
120{3}+60{4}+24{5/2}
|
- (*): У Великому бікирпатому біромбобідодекаедрі 120 з 240 ребер належать чотирьом граням. Якщо ці 120 ребер рахувати як дві пари ребер, що збігаються, де кожне ребро належить тільки двом граням, то всього буде 360 ребер і характеристика ейлера стане рівною −88. Зважаючи на цю виродженість, ребер многогранник не всі визнають однорідним.
Позначення в стовпцях
- U# — однорідні номери: U01—U80 (тетраедр перший, призми з номерами 76+)
- K# — номери Kaleido software: K01—K80 (Kn = Un-5 для n від 6 до 80) (призми 1-5, тетраедр і далі 6+)
- W# — моделі Маґнуса Веннінґера: W001—W119
- 1—18 — 5 опуклих правильних і 13 опуклих напівправильних
- 20—22, 41 — 4 неопуклі правильні
- 19—66 — 48 зірчастих форм/з'єднань (неправильні відсутні в цьому списку)
- 67—109 — 43 неопуклих гостроносих однорідних многогранників
- 110—119 — 10 неопуклих кирпатих однорідних многогранників
- — ейлерова характеристика. Однорідні мозаїки на площині відповідають топології тора з ейлеровою характеристикою нуль.
- Щільність — щільність многогранника[en] представляє число обертів многогранника навколо центру. Число відсутнє для неорієнтовних многогранників і для геміполіедрів[en] (многогранників, що мають грані, які проходять через центр многогранника), для яких немає чіткого визначення щільності.
- Зауваження про малюнки вершинних фігур:
- Світлими відрізками подано «вершинну фігуру» многогранника. Кольорові грані включено до малюнка вершинної фігури, щоб бачити їх зв'язки. Деякі грані, що перетинаються, намальовано візуально хибно, оскільки візуально вони не показують, які частини розташовані попереду.
Див. також
Примітки
Література
- М. Веннинджер. Модели многогранников. — «Мир», 1974.
- Magnus Wenninger. Dual Models. — Cambridge University Press, 1983. — ISBN 0-521-54325-8.
- H. S. M. Coxeter, M. S. Longuet-Higgins, J. C. P. Miller. Uniform polyhedra // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. — The Royal Society, 1954. — Т. 246, вип. 916 (28 липня). — С. 401—450. — ISSN 0080-4614. — DOI:10.1098/rsta.1954.0003.
- H. S. M. Coxeter, Patrick du Val[en], H. T. Flather, J. F. Petrie. The Fifty-nine Icosahedra. — University of Toronto studies, 1938. — (mathematical series 6: 1–26.) Third edition (1999) Tarquin ISBN 978-1-899618-32-3.
- J. Skilling. The complete set of uniform polyhedra // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. — 1975. — Т. 278, вип. 1278 (28 липня). — С. 111–135. — ISSN 0080-4614. — DOI:10.1098/rsta.1975.0022.
- Roman E. Maeder. Uniform Polyhedra // The Mathematica Journal. — 1993. — Т. 3, вип. 4 (28 липня).
Посилання
|
|