Знаходження первісної чи інтеграла для довільних функцій — справа значно складніша, ніж диференціювання , тобто пошук похідної . Представити інтеграл довільної функції в елементарних функціях не завжди неможливо. Тому існує набір методів для пошуку інтеграла окремих груп функцій.
Використовується таблиця інтегралів .
Цей метод містить два прийоми.
a) Якщо для знаходження заданого інтеграла ∫f(x)dx зробити підстановку x = φ(t), тоді має місце рівність:
∫ ∫ -->
f
(
x
)
d
x
=
∫ ∫ -->
f
[
φ φ -->
(
t
)
]
φ φ -->
˙ ˙ -->
(
t
)
d
t
{\displaystyle \int f(x)\,dx=\int f[\varphi (t)]{\dot {\varphi }}(t)\,dt}
Після знаходження останнього інтеграла треба повернутись до початкової змінної інтегрування х. Для застосування цього прийому треба, щоб функція х — φ (t) мала обернену t = ψ(х).
Приклад. Знайти інтеграл
I
=
∫ ∫ -->
x
2
d
x
25
− − -->
x
2
{\displaystyle I=\int {\frac {x^{2}dx}{\sqrt {25-x^{2}}}}}
Розв'язування. Зробимо підстановку
x
=
5
sin
-->
t
{\displaystyle x=5\sin t}
25
− − -->
x
2
=
25
− − -->
25
sin
2
-->
t
=
5
cos
-->
t
,
d
x
=
(
5
sin
-->
t
)
′
=
5
cos
-->
t
d
t
{\displaystyle {\sqrt {25-x^{2}}}={\sqrt {25-25\sin ^{2}t}}=5\cos t,dx=(5\sin t)'=5\cos tdt}
Отже, одержимо
I
=
∫ ∫ -->
25
sin
2
-->
t
⋅ ⋅ -->
5
cos
-->
t
d
t
5
cos
-->
t
=
25
∫ ∫ -->
sin
2
-->
t
d
t
=
25
2
∫ ∫ -->
(
1
− − -->
cos
-->
2
t
)
d
t
=
25
2
(
∫ ∫ -->
d
t
− − -->
∫ ∫ -->
cos
-->
2
t
d
t
)
=
25
2
t
− − -->
25
4
sin
-->
2
t
+
C
{\displaystyle I=\int {\frac {25\sin ^{2}t\cdot 5\cos tdt}{5\cos t}}=25\int \sin ^{2}tdt={\frac {25}{2}}\int (1-\cos 2t)dt={\frac {25}{2}}(\int \,dt-\int \cos 2t\,dt)={\frac {25}{2}}t-{\frac {25}{4}}\sin 2t+C}
Із рівності
x
=
5
sin
-->
t
{\displaystyle x=5\sin t}
t
=
arcsin
-->
(
x
/
5
)
;
{\displaystyle t=\arcsin(x/5);}
sin
-->
2
t
=
2
sin
-->
t
cos
-->
t
=
2
x
5
⋅ ⋅ -->
1
5
25
− − -->
x
2
{\displaystyle \sin 2t=2\sin t\cos t=2{\frac {x}{5}}\cdot {\frac {1}{5}}{\sqrt {25-x^{2}}}}
I
=
25
2
arcsin
-->
x
5
− − -->
25
4
⋅ ⋅ -->
2
x
25
25
− − -->
x
2
+
C
{\displaystyle I={\frac {25}{2}}\arcsin {\frac {x}{5}}-{\frac {25}{4}}\cdot {\frac {2x}{25}}{\sqrt {25-x^{2}}}+C}
I
=
25
2
arcsin
-->
x
5
− − -->
x
2
25
− − -->
x
2
+
C
{\displaystyle I={\frac {25}{2}}\arcsin {\frac {x}{5}}-{\frac {x}{2}}{\sqrt {25-x^{2}}}+C}
b) Якщо зробити заміну змінної, тобто t = φ (х) тоді має місце рівність:
∫ ∫ -->
f
[
φ φ -->
(
x
)
]
φ φ -->
′
(
x
)
d
x
=
∫ ∫ -->
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle \int f[\varphi (x)]\varphi ^{'}(x)dx=\int f(t)dt}
Після знаходження останнього інтеграла треба повернутись до змінної х, використовуючи рівність t = φ (х).
Приклад. Знайти
∫ ∫ -->
x
x
− − -->
3
d
x
{\displaystyle \int x{\sqrt {x-3}}\,dx}
Розв'язування. Нехай
x
− − -->
3
=
t
{\displaystyle {\sqrt {x-3}}=t}
x
− − -->
3
=
t
2
⇒ ⇒ -->
x
=
3
+
t
2
,
d
x
=
2
t
d
t
{\displaystyle x-3=t^{2}\Rightarrow x=3+t^{2},dx=2tdt}
∫ ∫ -->
x
x
− − -->
3
d
x
=
∫ ∫ -->
(
t
2
+
3
)
t
⋅ ⋅ -->
2
t
d
t
=
2
∫ ∫ -->
(
t
4
+
3
t
2
)
d
t
=
2
∫ ∫ -->
t
4
d
t
+
6
∫ ∫ -->
t
2
d
t
=
2
5
t
5
+
6
3
t
3
+
C
=
2
5
(
x
− − -->
3
)
5
+
2
(
x
− − -->
3
)
2
+
C
{\displaystyle \int x{\sqrt {x-3}}\,dx=\int (t^{2}+3)t\cdot 2tdt=2\int (t^{4}+3t^{2})dt=2\int t^{4}dt+6\int t^{2}dt={\frac {2}{5}}t^{5}+{\frac {6}{3}}t^{3}+C={\frac {2}{5}}{\sqrt {(x-3)^{5}}}+2{\sqrt {(x-3)^{2}}}+C}
Цей метод застосовується тоді, коли під інтегралом є добуток функцій, і хоча би одна з них є трансцендентною (не степеневою).
Нехай u та v деякі функції х, тобто
u
=
u
(
x
)
,
v
=
v
(
x
)
{\displaystyle u=u(x),v=v(x)}
Розглянемо диференціал добутку цих функцій.
d
(
u
v
)
=
u
d
v
+
v
d
u
{\displaystyle d(uv)=udv+vdu}
Інтегруючи обидві частини рівності, одержимо
∫ ∫ -->
d
(
u
⋅ ⋅ -->
v
)
=
∫ ∫ -->
u
d
v
+
∫ ∫ -->
v
d
u
{\displaystyle \int d(u\cdot v)=\int u\,dv+\int v\,du}
Звідси, враховуючи властивість невизначеного інтеграла, маємо
u
⋅ ⋅ -->
v
=
∫ ∫ -->
u
d
v
+
∫ ∫ -->
v
d
u
{\displaystyle u\cdot v=\int u\,dv+\int v\,du}
Отже, одержали формулу
∫ ∫ -->
u
d
v
=
u
v
− − -->
∫ ∫ -->
v
d
u
{\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du}
яку називають формулою інтегрування частинами .
Ця формула дозволяє звести пошук інтеграла
∫ ∫ -->
u
d
v
{\displaystyle \int u\,dv}
∫ ∫ -->
v
d
u
{\displaystyle \int v\,du}
∫ ∫ -->
u
d
v
{\displaystyle \int u\,dv}
Приклад. Знайти
∫ ∫ -->
ln
-->
x
d
x
{\displaystyle \int \ln x\,dx}
Розв'язування. Нехай
u
=
ln
-->
x
,
v
=
x
,
d
v
=
d
x
,
d
u
/
d
x
=
d
(
l
n
x
)
/
d
x
=
1
/
x
,
d
u
=
d
(
l
n
x
)
=
d
x
/
x
.
{\displaystyle u=\ln x,\ v=x,\ dv=dx,\ du/dx=d(lnx)/dx=1/x,\ du=d(lnx)=dx/x.}
За формулою інтегрування частинами одержимо
∫ ∫ -->
ln
-->
x
d
x
=
x
ln
-->
x
− − -->
∫ ∫ -->
d
x
=
x
ln
-->
x
− − -->
x
+
C
{\displaystyle \int \ln x\,dx=x\ln x-\int dx=x\ln x-x+C}
Невизначений інтеграл будь-якого раціонального дробу на будь-якому проміжку, де знаменник дробу не обертається в нуль, існує і подається через елементарні функції, а саме: він є алгебраїчною сумою суперпозиції раціональних дробів, арктангенсів і раціональних логарифмів.
Сам метод полягає в розкладанні раціонального дробу на суму найпростіших.
Усякий правильний раціональний дріб
P
(
x
)
Q
(
x
)
{\displaystyle {\tfrac {P(x)}{Q(x)}}}
розкладено на множники
Q
(
x
)
=
(
x
− − -->
x
1
)
k
1
⋅ ⋅ -->
(
x
− − -->
x
2
)
k
2
⋅ ⋅ -->
.
.
.
⋅ ⋅ -->
(
x
2
+
p
1
x
+
q
1
)
s
1
⋅ ⋅ -->
.
.
.
⋅ ⋅ -->
(
x
2
+
p
m
x
+
q
m
)
s
m
{\displaystyle Q(x)=(x-x_{1})^{k_{1}}\cdot (x-x_{2})^{k_{2}}\cdot ...\cdot (x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{s_{1}}\cdot ...\cdot (x^{2}+p_{m}x+q_{m})^{s_{m}}}
P
(
x
)
Q
(
x
)
=
A
1
x
− − -->
x
1
+
A
2
(
x
− − -->
x
1
)
2
+
⋯ ⋯ -->
+
A
k
1
(
x
− − -->
x
1
)
k
1
+
B
1
(
x
− − -->
x
2
)
+
B
2
(
x
− − -->
x
2
)
2
+
⋯ ⋯ -->
+
B
k
2
(
x
− − -->
x
2
)
k
2
+
… … -->
{\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}={\frac {A_{1}}{x-x_{1}}}+{\frac {A_{2}}{(x-x_{1})^{2}}}+\dots +{\frac {A_{k_{1}}}{(x-x_{1})^{k_{1}}}}+{\frac {B_{1}}{(x-x_{2})}}+{\frac {B_{2}}{(x-x_{2})^{2}}}+\dots +{\frac {B_{k_{2}}}{(x-x_{2})^{k_{2}}}}+\dots }
+
C
1
x
+
D
1
x
2
+
p
1
x
+
q
1
+
C
2
x
+
D
2
(
x
2
+
p
1
x
+
q
1
)
2
+
C
s
1
x
+
D
s
1
(
x
2
+
p
1
x
+
q
1
)
s
1
+
… … -->
{\displaystyle +{\frac {C_{1}x+D_{1}}{x^{2}+p_{1}x+q_{1}}}+{\frac {C_{2}x+D_{2}}{(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{2}}}+{\frac {C_{s_{1}}x+D_{s_{1}}}{(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{s_{1}}}}+\dots }
+
M
1
x
+
N
1
x
2
+
p
m
x
+
q
m
+
M
2
x
+
N
2
(
x
2
+
p
m
x
+
q
m
)
2
+
⋯ ⋯ -->
+
M
s
m
x
+
N
s
m
(
x
2
+
p
m
x
+
q
m
)
s
m
{\displaystyle +{\frac {M_{1}x+N_{1}}{x^{2}+p_{m}x+q_{m}}}+{\frac {M_{2}x+N_{2}}{(x^{2}+p_{m}x+q_{m})^{2}}}+\dots +{\frac {M_{s_{m}}x+N_{s_{m}}}{(x^{2}+p_{m}x+q_{m})^{s_{m}}}}}
де
A
1
,
A
2
,
.
.
.
,
B
1
,
B
2
,
.
.
.
,
C
1
,
C
2
,
.
.
.
,
M
1
,
N
1
,
.
.
.
{\displaystyle A_{1},A_{2},...,B_{1},B_{2},...,C_{1},C_{2},...,M_{1},N_{1},...}
![{\displaystyle \int f(x)\,dx=\int f[\varphi (t)]{\dot {\varphi }}(t)\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af61652e1b12538b85c6fbc50e46b3deee40ac68)
![{\displaystyle \int f[\varphi (x)]\varphi ^{'}(x)dx=\int f(t)dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7363c0361736fcffb9ecf502c53963c08d63e198)
