Доведення з Книги

«Доведення з Книги»

Автор	Martin Aigner^d і Günter M. Ziegler^d
Мова	англійська
Жанр	есей

«Доведення з Книги. Найкращі доведення з часів Евкліда до наших днів» — популярна книга з математики Мартіна Айгнера^[en] та Ґюнтера Ціґлера^[en].

Книгу присвячено Палу Ердешу, який часто називав «Книгою» місце, в якому Бог зберігає найкращі доведення математичних теорем. У своїй лекції 1985 року Ердеш сказав: «Вірити в Бога не обов'язково, але в Книгу вірити варто»^[1].

Книжка витримала п'ять видань англійською мовою. Перекладена також іспанською, італійською, китайською, корейською, німецькою, перською, польською, португальською, російською, турецькою, угорською, французькою та японською мови.

Зміст

Перше видання містило 32 розділи, п'яте — 44. Кожен розділ присвячено одній теоремі; часто обговорюється кілька доведень, а також близькі результати.

Книга охоплює широке коло галузей математики: теорію чисел, геометрію, аналіз, комбінаторику і зокрема теорію графів. Сам Ердеш вносив багато пропозицій щодо книги, але помер до опублікування.

Теми

Теорія чисел

• Шість доведень нескінченності множини простих чисел
• Постулат Бертрана
• Біноміальні коефіцієнти (майже) ніколи не є степенями
• Подання чисел у вигляді сум двох квадратів
• Закон взаємності квадратичних лишків
• Кожне скінченне кільце з діленням — поле
• Деякі ірраціональні числа
• Три рази про ${\displaystyle \pi ^{2}/6}$

Геометрія

• Третя проблема Гільберта: розбиття многогранників
• Прямі на площині та розкладання графів
• Задача про напрямки
• Три застосування формули Ейлера
• Теорема Коші про жорсткість
• Дотикання симплексів
• Кожна велика точкова множина має тупий кут
• Гіпотеза Борсука

Математичний аналіз

• Множини, функції та гіпотеза континууму
• На славу нерівностей
• Основна теорема алгебри
• Один квадрат і непарне число трикутників
• Теорема Поя про многочлени
• Про лему Літтлвуда та Оффорда
• Котангенс та прийом Герглотца
• Задача Бюффона про голку

Комбінаторика

• Принцип Діріхле та подвійний рахунок
• Плиткові розбиття прямокутників
• Три знамениті теореми про скінченні множини
• Тасування карт
• Шляхи на ґратці та визначники
• Формула Келі для числа дерев
• Тотожності та бієкції
• Доповнення до повних латинських квадратів

Теорія графів

• Задача Дініца
• Задача про п'ять фарб для плоских графів
• Як охороняти музей (Задача про картинну галерею)
• Теорема Турана про графи
• Зв'язок без помилок
• Хроматичне число графів Кнезера
• Про друзів та політиків
• Імовірність (іноді) спрощує перерахування

Див. також

• Що таке математика?
• Числа та фігури

Примітки

1. In Search of God’s Perfect Proofs (англ.).

Література

• Айгнер М. Циглер Г. Доказательства из Книги. Лучшие доказательства со времен Евклида до наших дней. — Мир, 2006.
• Айгнер М. Циглер Г. Доказательства из Книги. Лучшие доказательства со времен Евклида до наших дней. — Издательство «Лаборатория знаний» (ранее «БИНОМ. Лаборатория знаний»), 2014. — ISBN 978-5-9963-2736-2. (Переклад 4-го англійського видання)
• А. Щетников. О книге с большой буквы // Квантик. — 2014. — № 9 (28 июля). — С. 8—11.