Введена англійським фізикомДіраком. Дозволяє записати просторову густину фізичної величини (маса, електричний заряд, інтенсивність джерела тепла, сили тощо) зосередженою або прикладеною в одній точці. Наприклад, густина точкової маси m, що знаходиться в точці , евклідового простору, записується за допомогою δ-функції у вигляді .
Для дельта-функції однієї змінної справедливі такі рівняння:
.
.
.
, де — нулі функції .
Інтегральне представлення
У багатьох випадках зручним виявляється таке представлення дельта-функції:
Розглянемо інтеграл
, (1)
який можна інтерпретувати як границю
. (2)
Відомо, що
. (3)
Як наслідок з (3) для будь-якого справедлива рівність:
. (4)
Можна показати, що при необмеженому зростанні виявляються правильними всі властивості дельта-функції і функція (2) прямує до ; це дозволяє зробити висновок, що:
.
Похідна дельта-функції
Фундаментальний вираз, що описує похідну дельта-функції
:
.
Підставивши , одержимо вираз:
.
Після перетворення маємо:
.
Оскільки , одержуємо остаточний вираз
.
У загальному вигляді вираз похідної дельта-функції записується так:
.
Для довільної дельта-функції справджуються наступні тотожності:
в результаті одержуємо, що спектр δ-функції є константою: .
Доведено, що похідна функції Гевісайда дорівнює дельта-функції. Тобто Функція Гевісайда — первісна дельта-функції:
.
Отже, застосувавши перетворення Фур'є до первісної дельта-функції
,
одержимо її образ у вигляді:
.
Представлення в різних координатах і системах відліку
У двовимірному просторі:
;
;
.
У полярних координатах:
.
У тривимірному просторі:
;
.
У циліндричній системі:
.
У сферичній системі відліку:
.
Фізична інтерпретація
Миттєве прискорення
Прикладом застосування дельта-функції Дірака може служити задача про зіткнення двох тіл. Якщо на непорушне тіло налітає інше, то обидва тіла отримують прискорення і змінюють свою швидкість. Як розрахувати прискорення раніше нерухомого тіла? Побудуємо графік швидкості від часу. Графік буде мати вигляд, показаний на верхньому рисунку праворуч. На нижньому рисунку приведений графік дельта-функції з одиничною амплітудою, він відображає миттєвий процес набору швидкості тілом.
Беручи до уваги те, що модель розглядається в евклідовому просторі, можна записати наступне рівняння:
.
Функція Гріна
Розглянемо інші приклади. Дельта-функція застосовується у математичній фізиці при розв'язку задач, У які входять зосереджені величини. В квазікласичному наближенні хвильові функції локалізуються в дельта-функції, а центри їх зосередження рухаються по класичних траєкторіях за рівняннями Ньютона. Через дельта-функцію, також записується функція Гріна лінійного оператора , що діє на узагальнені функції над многовидом в точці . Рівняння має вигляд .
Цей вираз випливає з того, що веде себе подібно до дельта-функції.[1]. Це твердження використовується для доведення того, що вираз для скалярного потенціала: