Многовид

Многовид
Досліджується в	manifold theory^d
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика
Многовид у Вікісховищі

Многови́д — це об'єкт, який локально має характер евклідового простору розмірності n.

Означення

Многовидом над алгебрично замкненим полем ${\displaystyle k}$ є відділювана схема скінченного типу над ${\displaystyle k}$. Морфізмом многовидів називається їх морфізм як схем над полем ${\displaystyle k}$. Многовид ${\displaystyle X}$, який є афінною схемою, називається афінним многовидом. Будь-який многовид ${\displaystyle X}$ має скінченне покриття ${\displaystyle X=\bigcup U_{i},}$ де ${\displaystyle U_{i}}$ — афінні многовиди. З цього слідує, що ${\displaystyle X}$ має скінченну розмірність.

Якщо ${\displaystyle X}$ незвідний, то усі ${\displaystyle U_{i}}$ щільні у ${\displaystyle X}$ та ${\displaystyle \dim X=\dim U_{i}.}$ Вони є біраціонально ізоморфними, оскільки ${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$ відкритий й щільний як у ${\displaystyle U_{i},}$ та й у ${\displaystyle U_{j}.}$ Тому поля раціональних функцій ${\displaystyle k(U_{i})}$ є ізоморфними між собою. Ці поля можна ототожнити. Отримане поле називається полем раціональних функцій на ${\displaystyle X}$ й позначається ${\displaystyle k(X).}$ Розмірність многовида ${\displaystyle X}$ дорівнює степеню трансцендентності поля ${\displaystyle k(X).}$

Топологія на ${\displaystyle X}$, яка задається структурою схеми, називається спектральною. Для многовида ${\displaystyle X}$, визначеного над полем комплексних чисел ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ через ${\displaystyle X(\mathbb {C} )}$ позначається множина його замкнених точок. Розгляньмо відкриту у спектральній топології множину ${\displaystyle U\subset X,}$ скінченне число функцій ${\displaystyle f_{1},...,f_{m},}$ регулярних на ${\displaystyle U,}$ та число ${\displaystyle \varepsilon >0.}$ Через ${\displaystyle V(f_{1},...,f_{m})}$ позначмо множину тих точок ${\displaystyle x\in U(\mathbb {C} ),}$ для яких

${\displaystyle |f_{i}(x)|<\varepsilon ,\quad i={\overline {1,m}}.}$

Множина ${\displaystyle X(\mathbb {C} )}$ перетворюється на топологічний простір, узявши базис відкритих множин множини ${\displaystyle V(U;\,f_{1},...,f_{m};\,\varepsilon ).}$ Визначена таким чином буде називатися комплексною.

Якщо ${\displaystyle Y\subset X}$ — замкнена у спектральній топології підмножина, то ${\displaystyle Y(\mathbb {C} )\subset X(\mathbb {C} ).}$ Таким чином, ${\displaystyle Y(\mathbb {C} )}$ є замкненою у ${\displaystyle X(\mathbb {C} )}$ у комплексній топології, комплексна топологія множини ${\displaystyle Y(\mathbb {C} )}$ збігається із її топологію як підпростори у ${\displaystyle X(\mathbb {C} ).}$ Однак не усяка замкнена у комплексній топології множина має вид ${\displaystyle Y(\mathbb {C} )}$, де ${\displaystyle Y}$ замкнена у ${\displaystyle X}$ в спектральній топології. Прикладом є множина точок ${\displaystyle x\in \mathbb {A} ^{1}(\mathbb {C} ),}$ для яких ${\displaystyle |t(x)|\leq 1,}$ де ${\displaystyle t}$ — координата на ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}.}$ Морфізм ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ алгебричних многовидів визначає неперервне відображення ${\displaystyle f:(\mathbb {C} )\rightarrow Y(\mathbb {C} ).}$^[1]

Многовид (алгебричний) представляється сукупністю точок, яка виражається системою многочленних рівнянь:

${\displaystyle M=\{P\in k^{n}\,|\,f_{i}(P)=0\}\subset k^{n},}$

де ${\displaystyle k}$ — поле, ${\displaystyle f_{i}\in k[X_{1},...,X_{n}]}$ — многочлени^[2]. Вивчення алгебричних рівнянь — стародавня математична наука. Нині мода й зручність диктують звернення до кілець^[3].

Властивості

Многовид має цілочислову розмірність, яка вказує скількома параметрами (координатами) можна описати окіл довільної точки многовида. Ідея многовида полягає в тому, що геометрія гладкої поверхні «у малому», тобто в околу кожної її точки, нагадує геометрію Евклідового простору. Формально: n-вимірний многовид — це Гаусдорфів топологічний простір у якому будь-яка точка x має окіл гомеоморфний відкритій n-вимірній кулі:

${\displaystyle f_{x}:U\to B_{n}(0,r)=\{x\in \mathbf {R} ^{n}:||x||<r\},x\in U.}$

Завдання топологічних відображеннь f_x, які називаються картами (на зразок карт земної поверхні), є частиною структури многовида, а сукупність усіх карт називається атласом. Якщо виконується додаткова вимога, що різні карти узгоджені між собою диференційовним чином, а саме, якщо відображення ${\displaystyle f_{x}\circ (f_{y})^{-1}}$ між досить малими відкритими множинами n-вимірного Евклідового простору (визначені лише для деяких пар (x,y)) не тільки неперервні, а й гладкі, то маємо справу з гладким многовидом.

Приклади

• Одновимірний многовид — це крива, наприклад, пряма, коло, еліпс, гіпербола, або парабола. Ця лінія не може мати кінцевих точок або перетинати себе. Додатково, з диференційовності лінії випливає, що у кожній точці цілком означена дотична, яка неперервно залежить від точки.
• Двовимірний многовид — це поверхня, наприклад, сфера, циліндр, параболоїд, тор, тощо.

Многовиди вищих розмірностей узагальнюють лінії та поверхні, хоча звичайна уява тут уже не працює.

• Компактний зв'язаний многовид без межі називається замкнутим.
• n-вимірна сфера, або гіперсфера:

${\displaystyle S^{n}=\{x\in \mathbf {R} ^{n+1}:||x||=1\}.}$

Скінченний циліндр є многовидом з межами.

Додаткові структури на многовидах

Задання метричного тензора ${\displaystyle g_{ij}}$ дозволяє знаходити відстань між двома нескінченно близькими точками, а також інтегрувати (скалярне поле) по підмноговидах, наприклад вздовж кривих, що проходять всередині многовида, або за об'ємом самого многовида.

Інтегрувати векторні та тензорні поля так просто, як скаляр, не можна — через некомутативність паралельного переносу векторів (якщо тензор внутрішньої кривини ненульовий). Наприклад, ми не можемо точно обчислювати повну силу, що діє на протяжне тіло в загальній теорії відносності.

Якщо скаляр скрізь дорівнює одиниці, то ми можемо знаходити довжини кривих і ${\displaystyle k}$-мірні об'єми ${\displaystyle k}$-мірних підмноговидів (${\displaystyle k\leq n}$, де ${\displaystyle n}$ — розмірність многовида). Особливий інтерес становлять підмноговиди мінімального об'єму, зокрема найкоротша лінія, що сполучає дві точки многовида (геодезична лінія).

В околі будь-якої точки многовида можна задати майже декартові координати такі, що початок координат буде в цій точці, метричний тензор буде одиничним, і всі перші похідні метричного тензора (або, що еквівалентно, всі символи Крістофеля) дорівнюють нулю. Другі ж похідні можна зробити нульовими далеко не завжди, для цього необхідно (і достатньо), щоб тензор Рімана дорівнював нулю. Якщо тензор Рімана тотожно дорівнює нулю в деякій зв'язній області многовида, то в цій області можна побудувати декартові координати (з метричним тензором що дорівнює одиничній матриці ${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}}$), отже внутрішня геометрія такого многовида збігається з геометрією евклідового простору (хоча при погляді зверху цей многовид може бути, наприклад, циліндром).

Розгляд кривини многовида виявляється набагато простішим для гіперповерхонь, коли многовид вкладений в евклідовий простір на одиницю більшої розмірності. Практично важливим випадком гіперповерхні є двовимірні многовиди в тривимірному просторі.

Див. також

• Ріманів многовид
• Замкнутий многовид
• Диференційовний многовид
• Орбівид
• Алгебрична поверхня
• Раціональна поверхня

Література

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1980. — 976 с., ил.

1. И. Р. Шафаревич - Основы алгебраической геометрии, том 2, 2-е изд., 1988.
2. W.V.D.Hodge, D.Pedoe - Methods of algebraic geometry, vol.2.
3. Ю.И.Манин - Введение в теорию схем и квантовые группы.