Форма Маурера — Картана

Форма Маурера — Картана в теорії груп Лі — диференціальна форма визначена на групі Лі, що приймає значення у відповідній алгебрі Лі. Названа начесть німецького математика Людвіга Маурера і французького математика Елі Картана.

Означення

Нехай ${\displaystyle G}$ — група Лі, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=T_{e}G}$ — відповідна алгебра Лі. Для ${\displaystyle g\in G}$ визначена функція лівого множення

${\displaystyle L_{g^{-1}}:G\rightarrow G}$

${\displaystyle L_{g^{-1}}(h):=g^{-1}h}$

Її диференціал в точці ${\displaystyle g}$

${\displaystyle (dL_{g^{-1}})_{g}:T_{g}G\rightarrow T_{e}G={\mathfrak {g}}}$.

Форма Маурера — Картана ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{1}(G,{\mathfrak {g}})}$ за означенням рівна

${\displaystyle \omega (v):=(dL_{g^{-1}})_{g}(v)}$

для ${\displaystyle v\in T_{g}G,g\in G}$.

Рівняння Маурера — Картана

Рівняння Маурера — Картана записується як

${\displaystyle d\omega +{\frac {1}{2}}\left[\omega ,\omega \right]=0}$.

Дужки Лі диференціальних форм зі значеннями в алгебрі Лі за означенням рівні

${\displaystyle [\omega \wedge \eta ](v_{1},v_{2})=[\omega (v_{1}),\eta (v_{2})]-[\omega (v_{2}),\eta (v_{1})]}$

і зовнішня похідна ${\displaystyle d\omega }$ за означенням рівна

${\displaystyle d\omega (X,Y)=X(\omega (Y))-Y(\omega (X))-\omega ([X,Y])}$.

Див. також

• Зв'язність на головних розшаруваннях

Література

• Jeffrey M. Lee: Manifolds and differential geometry. American Mathematical Society, Providence, R.I. 2009, ISBN 0-8218-4815-1.