Фактично задання зв'язності полягає у виборі доповнень в до підпростору вертикальних векторів. Ці доповнення визначаються як ядра деякої -значної 1-форми на розшаруванні, що для вертикальних векторів є оберненою до відображень
Формально зв'язністю називається -значна 1-форма , для якої виконуються умови:
для всіх .
і
для всіх .
де позначає множення справа на елемент , — обмеження диференційної форми в точці , — приєднане представлення групи Лі
Підпростір векторів, що належать ядру називається простором горизонтальних векторів. Якщо позначити його як , то справедливою є рівність
для всіх
Дану рівність є еквівалентною першій умові означення зв'язності.
Властивості і приклади
На будь-якому тривіальному головному розшаруванню існує зв'язність яку задає класична Форма Маурера — Картана, якщо її значення визначати на другому аргументі добутку.
Будь-яка опукла комбінація форм, що задають зв'язності теж є зв'язністю. Як наслідок з цієї і попередньої властивості на довільному головному розшаруванні над паракомпактним гладким многовидом можна ввести зв'язність. Для цього потрібно ввести зв'язності породжені формами Маурера — Картана на локально скінченному покритті локально тривіальними відкритими підмножинами і застосувати відповідне розбиття одиниці.
Нехай і — два диференційовні головні розшарування зі структурною групою і також і — диференційовні відображення для яких Тоді для довільної зв'язності на диференційна форма є зв'язністю на
Кривина
Формою кривини для зв'язності називається 2-форма:
Якщо форма кривини всюди рівна нулю, то зв'язність називається плоскою. На розшаруванні можна ввести плоску зв'язність тоді і тільки тоді коли існує покриття бази відкритими множинами для яких є тривіальними розшаруваннями і функції переходу є константами.
Форма кривини є горизонтальною, тобто якщо хоча б один з її аргументів є вертикальним вектором, то в цій точці вона приймає нульове значення. Також форма кривини є -еквіваріантною, тобто
Рівність Б'янкі
Зовнішня похідна форми кривини рівна
.
Паралельне перенесення
Для довільної гладкої кривої і точки існує єдина крива для якої і окрім того дотичний вектор до є горизонтальним вектором у відповідній точці кривої.
Для довільної гладкої кривої можна визначити відображення
Для довільної точки введені відображення визначають групу голономій як підкрупу групи дифеоморфізмів простору щодо паралельних перенесень вздовж замкнутих кривих з початком і кінцем в цій точці. А саме якщо гладка крива для якої і то визначена як вище крива для якої визначає відображення . Дане відображення є автоморфізмом простору Група автоморфізмів для всіх таких кривих називається групою голономій.