Рівняння Лагранжа першого роду

Класична механіка
Історія класичної механіки
Розділи Статика · Кінематика · Динаміка · Небесна механіка · Механіка суцільних середовищ · Статистична механіка
Фундаментальні поняття Простір · Час · Система відліку · Маса · Інерція · Швидкість · Прискорення · Імпульс · Сила · Гравітація · Момент імпульсу · Момент сили · Момент інерції · Енергія · Кінетична енергія · Потенціальна енергія · Механічна робота · Потужність
Основні принципи Принцип відносності · Закони збереження · Принцип д'Аламбера — Лагранжа · Принцип найменшої дії · Теорема Нетер
Рівняння Рівняння Лагранжа I роду · Рівняння Лагранжа — Ейлера · Кінематичні рівняння Ейлера · Рівняння Гамільтона
Важливі теми Малі коливання · Задача двох тіл · Абсолютно тверде тіло
Формулювання Механіка Ньютона · Механіка Лагранжа · Механіка Гамільтона · Формалізм Гамільтона — Якобі
Відомі науковці Архімед · Галілей · Ньютон · Кеплер · Ейлер · д'Аламбер · Лагранж · Лаплас · Гамільтон · Коші · Герц · Якобі
п о р

Рівня́ння Лагра́нжа пе́ршого ро́ду — система рівнянь, яка описує рух механічної системи з накладеними зв'язками.

Рівняння Лагранжа першого роду дозволяють формалізувати процедуру знаходження сил реакції за допомогою невизначених множників.

Ця система рівнянь Лагранжа називається рівняннями першого роду, щоб відрізнити їх від рівнянь Лагранжевої механіки.

Формулювання задачі

Розглядається система N матеріальних точок із масами ${\displaystyle m_{i}\,}$, на які діють сили ${\displaystyle \mathbf {F} _{i}}$. Крім того на рух матеріальних точок накладені ідеальні стаціонарні голономні зв'язки, рівняння яких задаються формулами

${\displaystyle f_{\alpha }(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N})=0}$,

де індекс α пробігає значення від 1 до s (s — кількість зв'язків).

Рівняння Лагранжа I-го роду

В такому випадку еволюція системи задається наступною системою 3N диференційних рівнянь та s рівнянь зв'язку

${\displaystyle m_{i}{\ddot {\mathbf {r} }}_{i}=\mathbf {F} _{i}+\sum _{\alpha =1}^{s}\lambda _{\alpha }\nabla _{i}f_{\alpha }}$,

де ${\displaystyle \lambda _{\alpha }\,}$ — s невизначених множників Лагранжа.

Дану систему рівнянь необхідно розв'язувати разом із системою рівнянь для зв'язків. Усього вона має ${\displaystyle 3N+s\,}$ невідомих: ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ та ${\displaystyle \lambda _{\alpha }\,}$. Рівннянь теж ${\displaystyle 3N+s\,}$.

Система рівнянь Лагранжа дозволяє визначити сили реакції

${\displaystyle \mathbf {R} _{i}=\sum _{\alpha =1}^{s}\lambda _{\alpha }\nabla _{i}f_{\alpha }}$.

Див. також

• Механіка Лагранжа

Джерела

• Федорченко А.М. (1975). Теоретична механіка. Київ: Вища школа., 516 с.